ความยาวส่วนโค้งของ r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) บนดีบุกคืออะไร [1, ln2]

ตอบ:

ความยาวส่วนโค้ง #~~ 2.42533 # (5DP)

ความยาวส่วนโค้งเป็นค่าลบเนื่องจากขอบล่าง #1# เป็นมากกว่าขอบเขตบนของ # LN2 #

คำอธิบาย:

เรามีฟังก์ชันเวกเตอร์ตามพารามิเตอร์ที่ได้รับจาก:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

ในการคำนวณความยาวส่วนโค้งเราจะต้องใช้อนุพันธ์ของเวกเตอร์ซึ่งเราสามารถคำนวณได้โดยใช้กฎผลิตภัณฑ์:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

# = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> #

จากนั้นเราคำนวณขนาดของเวกเตอร์อนุพันธ์:

# | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# "" = sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

จากนั้นเราสามารถคำนวณความยาวส่วนโค้งโดยใช้:

# L = int_ (1) ^ (ln2) | bb ul r '(t) | dt #

# = int_ (1) ^ (ln2) sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) dt #

ไม่น่าเป็นไปได้ที่เราจะคำนวณอินทิกรัลนี้โดยใช้เทคนิคการวิเคราะห์ดังนั้นแทนที่จะใช้วิธีเชิงตัวเลขที่เราได้รับประมาณ:

# L ~~ 2.42533 # (5DP)

ความยาวส่วนโค้งเป็นค่าลบเนื่องจากขอบล่าง #1# เป็นมากกว่าขอบเขตบนของ # LN2 #