ส่วนประกอบของ 1 / sqrt (tanx) dx =?

ตอบ:

# 1 / (sqrt2) สีน้ำตาล ^ -1 ((Tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) LN | (Tanx-sqrt (2tanx) +1) / (Tanx-sqrt (2tanx) +1) | + C #

คำอธิบาย:

เราเริ่มต้นด้วยการทดแทนด้วย # U = sqrt (Tanx) #

อนุพันธ์ของ #ยู# คือ:

# (du) / DX = (วินาที ^ 2 (x)) / (2sqrt (Tanx)) #

ดังนั้นเราจึงหารด้วยสิ่งนั้นเพื่อรวมเข้าด้วยกันด้วยความเคารพ #ยู# (และจำไว้ว่าการหารด้วยเศษส่วนจะเท่ากับการคูณด้วยส่วนกลับ):

#int 1 / sqrt (tanx) dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx)) / วินาที ^ 2x du = #

# = int 2 / วินาที ^ 2x du #

เนื่องจากเราไม่สามารถรวม # x #ด้วยความเคารพ #ยู#เราใช้ข้อมูลประจำตัวต่อไปนี้:

# วินาที ^ 2theta = สีน้ำตาล ^ 2theta + 1 #

สิ่งนี้ให้:

#int 2 / (tan ^ 2x + 1) du = int 2 / (1 + u ^ 4) du = 2int 1 / (1 + u ^ 4) du #

อินทิกรัลที่เหลือนี้ใช้การแยกส่วนที่ค่อนข้างน่าเบื่อดังนั้นฉันจะไม่ทำตรงนี้ ดูคำตอบนี้หากคุณสนใจว่ามันเป็นไปได้อย่างไร:

socratic.org/questions/how-do-you-evaluate-the-integral-int-dx-x-4-1

# 2int 1 / (1 + u ^ 4) du = 2 (1 / (2sqrt2) tan ^ -1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (4sqrt2) ln | (u ^ 2 sqrt2u + 1) / (U ^ 2-sqrt2u + 1) |) + C = #

# = 1 / (sqrt2) สีน้ำตาล ^ -1 ((U ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (2sqrt2) LN | (U ^ 2-sqrt2u + 1) / (U ^ 2 + 1 sqrt2u) | + C #

การลงทะเบียนใหม่สำหรับ # U = sqrt (Tanx) #, เราได้รับ:

# 1 / (sqrt2) สีน้ำตาล ^ -1 ((Tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) LN | (Tanx-sqrt (2tanx) +1) / (Tanx-sqrt (2tanx) +1) | + C #

ตอบ:

# = 1 / sqrt (2) สีน้ำตาล ^ -1 ((Tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) LN | (Tanx + 1 sqrt (2tanx)) / (Tanx + 1 + sqrt (2tanx)) | + C #

คำอธิบาย:

# I = int1 / sqrt (Tanx) DX #

ปล่อย, #sqrt (Tanx) = t => Tanx t = ^ 2 => วินาที ^ = 2xdx 2tdt #

# => (1 + น้ำตาล ^ 2x) DX = 2tdt => DX = (2tdt) / (1+ (t ^ 2) ^ 2 #

#:. I = int1 / cancelt * (2 * * * * * * * * dt cancelt) / (1 + T ^ 4) = int2 / (1 + T ^ 4) dt #

# = int (t ^ 2 + 1) / (1 + T ^ 4) DT-int (T ^ 2-1) / (1 + T ^ 4) dt = int (1 + 1 / T ^ 2) / (T ^ 2 + 1 / T ^ 2) DT-int (1-1 / T ^ 2) / (T ^ 2 + 1 / T ^ 2) dt #

# = int (1 + 1 / T ^ 2) / ((t-1 / t) ^ 2 + 2) DT-int (1-1 / T ^ 2) / ((T + 1 / t) ^ 2 2) dt #

ใช้เวลา# (t-1 / t) = uand (T + 1 / t) v = ## => (1 + 1 / T ^ 2) dt = duand (1-1 / T ^ 2) dt = DV ## => I = int1 / u (^ 2 + (sqrt (2)) ^ 2) du-int1 / (V ^ 2- (sqrt (2)) ^ 2) DV = 1 / sqrt (2) สีน้ำตาล ^ - 1 (u / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) LN | (V-sqrt2) / (V + sqrt2) | + c = 1 / sqrt (2) สีน้ำตาล ^ -1 ((t-1 / T) / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) LN | ((T + 1 / t) -sqrt2) / ((T + 1 / t) + sqrt2) | + C ## = 1 / sqrt (2) สีน้ำตาล ^ -1 ((T ^ 2-1) / (sqrt (2) t)) - 1 / (2sqrt (2)) LN | ((t ^ 2 + 1 sqrt (2) t)) / ((t ^ 2 + 1 + sqrt (2) t)) | + C #

# = 1 / sqrt (2) สีน้ำตาล ^ -1 ((Tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) LN | (Tanx + 1 sqrt (2tanx)) / (Tanx + 1 + sqrt (2tanx)) | + C #