ก่อนอื่นให้ตั้งค่าปัญหา
ทันทีที่ทั้งสอง
วิธีแก้ปัญหาคือ
ที่ไหน
สิ่งนี้ไม่น่าประหลาดใจนักเมื่อพิจารณาว่าอนุพันธ์และอินทิกรัลนั้นตรงกันข้าม ดังนั้นการหาอินทิกรัลของอนุพันธ์ควรส่งคืนฟังก์ชันดั้งเดิม
อินทิกรัลของ (ln (xe ^ x)) / x คืออะไร?
Int ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C เราได้รับ: int ln (xe ^ x) / (x) dx ใช้ ln (ab) = ln (a) + ln (b): = int (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx ใช้ ln (a ^ b) = bln (a): = int (ln (x (x) ) + xln (e)) / (x) dx ใช้ ln (e) = 1: = int (ln (x) + x) / (x) dx แยกเศษส่วน (x / x = 1): = int (ln (x) / x + 1) dx การแยกอินทิกรัลรวม: = int ln (x) / xdx + int dx อินทิกรัลที่สองคือ x + C โดยที่ C คือค่าคงที่ตามอำเภอใจ อินทิกรัลแรกเราใช้การแทนยู: ให้ u equiv ln (x), ดังนั้น du = 1 / x dx การใช้การแทนยู: = int udu + x + C การรวม (ค่าคงที่โดยพล C สามารถดูดซับค่าคงที่ตามอำเภอใจ อินทิกรัลไม่ จำกัด ครั้งแรก: = u ^ 2/2 + x + C แทนกลับ
อินทิกรัลของ int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx คืออะไร?
Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C ปัญหาใหญ่ของเราในอินทิกรัลนี้คือรากดังนั้นเราจึงต้องการกำจัดมัน เราสามารถทำได้โดยการแนะนำการทดแทน u = sqrt (2x-1) อนุพันธ์คือ (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) ดังนั้นเราจึงหารผ่าน (และจำไว้ว่าการหารด้วยส่วนกลับจะเหมือนกับการคูณด้วยตัวส่วน) เพื่อรวมเข้ากับ u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / ยกเลิก (sqrt (2x-1)) ยกเลิก (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du ตอนนี้สิ่งที่เราต้องทำคือแสดง x ^ 2 ในแง่ของ u (เนื่องจากคุณไม่สามารถรวม x ที่เกี่ยวข้องกับ u): u = sqrt (2x-1) u ^ 2 = 2x- 1 u ^ 2 + 1 = 2x (u ^ 2 + 1) / 2 = xx ^ 2 = (
อินทิกรัลของ int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx คืออะไร?
1/2 [-ln (เอบีเอส (sqrt (1 + E ^ (2x)) + 1)) + LN (เอบีเอส (sqrt (1 + E ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + E ^ (2x)) + C ก่อนอื่นเราแทนที่: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du ดำเนินการ การทดแทนที่สอง: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Split โดยใช้เศษส่วนบางส่วน: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 ตอนนี้เรามี: -1 /