อินทิกรัลของ (ln (xe ^ x)) / x คืออะไร?

ตอบ:

# int # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

คำอธิบาย:

เราได้รับ:

# int # #ln (XE ^ x) / (x) DX #

การใช้ #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

การใช้ #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

การใช้ #ln (e) = 1 #:

# = int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

แยกส่วน (# x / x = 1 #):

# = int # # (ln (x) / x + 1) dx #

การแยกอินทิกรัลสรุป:

# = int # #ln (x) / xdx + int dx #

อินทิกรัลที่สองนั้นเรียบง่าย #x + C #ที่ไหน # C # เป็นค่าคงที่โดยพลการ อินทิกรัลแรกเราใช้ #ยู#-การแทน:

ปล่อย #u equiv ln (x) #ดังนั้น #du = 1 / x dx #

การใช้ #ยู#-การแทน:

# = int udu + x + C #

การรวม (คงที่โดยพลการ # C # สามารถดูดซับค่าคงที่โดยพลการของอินทิกรัลไม่ จำกัด ครั้งแรก:

# = u ^ 2/2 + x + C #

แทนกลับในแง่ของ # x #:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

ตอบ:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

คำอธิบาย:

เราเริ่มต้นด้วยการใช้ข้อมูลลอการิทึมต่อไปนี้:

#ln (AB) = LN (ก) + LN (ข) #

การใช้สิ่งนี้กับอินทิกรัลเราจะได้รับ:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

# = int ln (x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x dx + x #

ในการประเมินอินทิกรัลที่เหลือเราใช้การรวมตามส่วนต่าง ๆ:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

ฉันจะปล่อยให้ # f (x) = LN (x) # และ #G '(x) = 1 / x #. จากนั้นเราสามารถคำนวณได้ว่า:

# f (x) = 1 / x # และ #G (x) = LN (x) #

จากนั้นเราสามารถใช้การรวมโดยสูตรส่วนเพื่อรับ:

#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

เนื่องจากเรามีอินทิกรัลทั้งสองด้านของเครื่องหมายเท่ากับเราจึงสามารถแก้มันได้เหมือนสมการ:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

เสียบกลับไปที่การแสดงออกเดิมเราจะได้คำตอบสุดท้าย:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #