วิธีการแปลง r = 7 / (5-5costheta) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า?

ตอบ:

นั่นคือพาราโบลาไปด้านข้าง # 70 x = 25 y ^ 2 - 49 #

คำอธิบาย:

อันนี้น่าสนใจเพราะมันเปลี่ยนไป ค่าต่ำสุดของตัวหารคือศูนย์ มันเป็นส่วนรูปกรวย; ฉันคิดว่ามันทำให้ฉันกลายเป็นพาราโบลา นั่นไม่สำคัญหรอก แต่มันบอกเราว่าเราจะได้พีชคณิตแบบดีโดยไม่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติหรือรากที่สอง

วิธีที่ดีที่สุดคือ sorta ถอยหลัง เราใช้การแทนที่แบบขั้วต่อเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเมื่อดูเหมือนว่าวิธีอื่นจะตรงกว่ามากขึ้น

#x = r cos theta #

#y = r บาป theta #

ดังนั้น # x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

ที่เราเห็น #R> 0 # เราเริ่มต้นด้วยการล้างเศษส่วน

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

เรามี #r cos theta # นั่นคือ # x. #

# 5 r - 5 x = 7 #

# 5r = 5 x + 7 #

การสังเกตเบื้องต้นของเราคือ #r> 0 # ดังนั้นการยกกำลังสองก็โอเค

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

ตอนนี้เราเปลี่ยนใหม่อีกครั้ง

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

ในทางเทคนิคเราได้ตอบคำถาม ณ จุดนี้และเราสามารถหยุดที่นี่ แต่ยังมีพีชคณิตที่ต้องทำและหวังว่าจะได้รับรางวัลในตอนท้าย: บางทีเราสามารถแสดงให้เห็นว่านี่เป็นพาราโบลา

# 25 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 x + 49 #

# 25 y ^ 2 - 49 = 70 x #

# x = 1/70 (25 y ^ 2 - 49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

กราฟ {x = 1/70 (25y ^ 2 - 49) -17.35, 50, -30, 30}

ใช่นั่นคือพาราโบลาหมุน # 90 ^ circ #จากทิศทางปกติ

ตรวจสอบ: Alpha eyball