พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีเส้นทแยงมุมอยู่ที่ 30 และส่วนสูงคือ 18 คืออะไร

ตอบ:

#S_ (สี่เหลี่ยมคางหมู) = 432 #

คำอธิบาย:

พิจารณารูปที่ 1

ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ที่เป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา (ที่ # BD AC = = 30 #, # DP = 18 #และ AB นั้นขนานกับ CD) เราสังเกตว่าการใช้ทฤษฎีบทมุมภายในภายในสำรองนั้น # อัลฟา = เดลต้า # และ # เบต้า = แกมมา #.

หากเราวาดเส้นสองเส้นตั้งฉากกับเซ็กเมนต์ AB สร้างเซ็กเมนต์ AF และ BG เราจะเห็นได้ว่า #triangle_ (เอเอฟซี) - = triangle_ (BDG) # (เพราะสามเหลี่ยมทั้งสองนั้นถูกต้องและเรารู้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากของหนึ่งเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากของอีกข้างและขาของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับขาของสามเหลี่ยมอีกอัน) # อัลฟาเบต้า = # => # แกมมาเดลต้า = #.

ตั้งแต่ # แกมมาเดลต้า = # เราเห็นได้ว่า #triangle_ (ABD) - = triangle_ (ABC) # และ # AD = BC #ดังนั้นสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นหน้าจั่ว

เรายังสามารถเห็นได้ว่า #triangle_ (ADP) - = triangle_ (BCQ) # => # AP = BQ # (หรือ # x y = # ในรูปที่ 2)

พิจารณารูปที่ 2

เราจะเห็นได้ว่ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูในรูปที่ 2 มีรูปร่างที่แตกต่างจากในรูปที่ 1 แต่ทั้งสองตอบสนองเงื่อนไขของปัญหา ฉันนำเสนอตัวเลขสองตัวนี้เพื่อแสดงว่าข้อมูลของปัญหาไม่อนุญาตให้กำหนดขนาดของฐาน 1 (# ม #) และของฐาน 2 (# n #) ของสี่เหลี่ยมคางหมู แต่เราจะเห็นว่าไม่จำเป็นต้องมีข้อมูลเพิ่มเติมในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

ใน #triangle_ (BDP) #

# DB ^ 2 = DP ^ 2 + BP ^ 2 # => # 30 ^ 2 = 18 ^ 2 + (x + m) ^ 2 # => # (x + m) ^ 2 = 900-324 = 576 # => # x + m = 24 #

ตั้งแต่ # n = m + X + Y # และ # x y = # => # n = m + 2 * x # และ # m + n = m + m + 2 * x = 2 * (x + m) = 2 * 24 # => # m + n = 48 #

#S_ (สี่เหลี่ยมคางหมู) = (base_1 + base_2) / 2 * สูง = (m + n) / 2 * 18 = (48 * 18) / 2 = 432 #

หมายเหตุ: เราสามารถลองหาได้ ม. และ n การรวมกันของสมการทั้งสองนี้:

ใน #triangle_ (ADP) -> AD ^ 2 = AP ^ 2 + h ^ 2 # => # AD ^ 2 = (24 เมตร) ^ 2 + 18 ^ 2 #

ใน #triangle_ (ABD) -> AD ^ 2 = AB ^ 2 + BD ^ 2-2 * AB * BD * cos delta # => # AD ^ 2 = m ^ 2 + 30 ^ * 2-2 เมตร * 30 * (4/5) #

(#cos delta = 4/5 # เพราะ #sin delta = 18/30 = 3/5 #)

แต่การแก้ไขระบบสองสมการนี้เราจะค้นพบสิ่งนั้นเท่านั้น ม. และด้านข้าง AD ไม่แน่นอน