ให้ V = R³และ W = {(x, y, z) x + y + z = 0} เป็น subspace ของ V ซึ่งเวกเตอร์คู่ต่อไปนี้อยู่ใน coset เดียวกันของ V ใน V? (i) (1,3,2) และ (2,2,2). (ii) (1,1,1) และ (3,3,3)

ตอบ:

# #

# mbox {i)} (1,3,2) mbox {และ} (2,2,2): #

# qquad qquad qquad mbox {do เป็นของ coset เดียวกัน} W #

# mbox {ii)} (1,1,1) mbox {และ} (3,3,3): #

# qquad qquad qquad mbox {ไม่ได้เป็นของโคเซ็ทเดียวกันของ} W #

คำอธิบาย:

# #

# mbox {1) โปรดสังเกตว่าตามที่ให้ไว้กับ} W, mbox {เราอาจอธิบาย} mbox {องค์ประกอบของ} W mbox {เป็นเวกเตอร์ของ} V mbox {โดยที่} mbox {ผลรวมของพิกัดคือ} 0. #

# #

# mbox {2) ตอนนี้จำได้ว่า:} #

# mbox {เวกเตอร์สองตัวเป็นของ coset เดียวกันของช่องว่างใด ๆ } #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad iff #

# qquad mbox {ความแตกต่างของพวกเขาเป็นของสเปซย่อย} #

# #

# mbox {3) ดังนั้นเพื่อตรวจสอบการเป็นสมาชิกใน coset เดียวกันของ} W, mbox {มีความจำเป็นและเพียงพอที่จะตรวจสอบว่า} mbox {ความแตกต่างของเวกเตอร์เหล่านั้นเป็นของ} W: #

# qquad vec {v_1}, vec {v_2} in mbox {โคเซ็ตเดียวกันของ} W quad iff quad iff quad vec {v_1} - vec {v_2} in W. #

# #

# mbox {ดังนั้นโดยคำอธิบายของ} W mbox {ใน (1) ด้านบนเรามี:} #

# vec {v_1}, vec {v_2} ใน mbox {โคเซ็ตเดียวกันของ} W quad iff quad mbox {ผลรวมของพิกัด} (vec {v_1} - vec {v_2}) = 0. #

# #

# mbox {มันเป็นเรื่องของการคำนวณอย่างง่ายนี้} #

# #

# 4) mbox {ดำเนินการต่อด้วยเวกเตอร์ที่กำหนดสองคู่และ} mbox {ดำเนินการคำนวณนี้ในแต่ละคู่เราพบ: #

# quad mbox {i)} (1,3,2) - (2,2,2) = (-1,1,0), mbox {และอื่น ๆ } #

# qquad qquad mbox {ผลรวมของพิกัด} quad (-1,1,0) = 0. #

# mbox {ดังนั้น:} qquad qquad qquad (1,3,2) mbox {และ} (2,2,2) #

# qquad qquad qquad qquad mbox {เป็นของจักรวาลเดียวกันของ} W #

# #

# quad mbox {ii)} (1,1,1) - (3,3,3) = (2,2,2), mbox {และอื่น ๆ } #

# qquad qquad mbox {ผลรวมของพิกัด} quad (2,2,2) = 6 ne 0 #

# mbox {ดังนั้น:} qquad qquad qquad (1,1,1) mbox {และ} (3,3,3) #

# qquad quad quad mbox {ไม่ได้เป็นของโคเซ็ตเดียวกันของ} W #