คะแนน extrema และ saddle ของ f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x คืออะไร

ตอบ:

จุดอานที่จุดกำเนิด

คำอธิบาย:

เรามี:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

เราก็จะได้อนุพันธ์อนุพันธ์บางส่วน โปรดจำไว้ว่าเมื่อแยกแยะความแตกต่างบางส่วนที่เราแยกแยะความแตกต่างของตัวแปรที่เป็นปัญหาในขณะที่รักษาตัวแปรอื่น ๆ เป็นค่าคงที่ และอื่น ๆ:

# (บางส่วน f) / (บางส่วน x) = 2xy-y ^ 2 # และ # (บางส่วน f) / (บางส่วน y) = x ^ 2-2yx #

ที่จุด extrema หรืออานเรามี:

# (บางส่วน f) / (บางส่วน x) = 0 # และ # (บางส่วน f) / (บางส่วน y) = 0 # พร้อมกัน:

เช่นวิธีแก้ปัญหาพร้อมกันของ:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

ดังนั้นจึงมีจุดวิกฤติเพียงจุดเดียวที่จุดกำเนิด #(0,0)#. เพื่อกำหนดลักษณะของจุดวิกฤตินักวิเคราะห์ของ Taylor Series หลายตัวแปรจำเป็นต้องใช้และผลการทดสอบต่อไปนี้:

# Delta = (บางส่วน ^ 2 f) / (บางส่วน x ^ 2) (บางส่วน ^ 2 f) / (บางส่วน y ^ 2) - {(บางส่วน ^ 2 f) / ((บางส่วน x บางส่วน y)} ^ 2 <0 => # จุดอาน

ดังนั้นเราคำนวณอนุพันธ์ย่อยส่วนที่สอง:

# (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน x ^ 2) = 2y #;# (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน y ^ 2) = -2x # และ # (บางส่วน ^ 2 f) / (บางส่วน x บางส่วน y) = 2x-2y #

และเมื่อไหร่ # x = 0, y = 0 # เราได้รับ:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

ซึ่งหมายความว่าการทดสอบอานแบบมาตรฐานนั้นครอบคลุมและจำเป็นต้องมีการวิเคราะห์เพิ่มเติม (โดยทั่วไปจะเกี่ยวข้องกับการดูสัญญาณของฟังก์ชั่นในส่วนต่าง ๆ หรือดูการทดสอบอนุพันธ์ส่วนที่สามซึ่งอยู่นอกเหนือขอบเขตของคำถามนี้!)

นอกจากนี้เรายังสามารถดูพล็อต 3 มิติและสรุปได้อย่างรวดเร็วว่าจุดวิกฤติปรากฏขึ้นเพื่อให้ตรงกับจุดอาน: