พื้นที่ Hilbert คืออะไร + ตัวอย่าง

พื้นที่ Hilbert เป็นชุดขององค์ประกอบที่มีคุณสมบัติบางอย่างคือ:

มันคือปริภูมิเวกเตอร์ (ดังนั้นมีการดำเนินการเกี่ยวกับองค์ประกอบของมันตามแบบฉบับของเวกเตอร์เช่นการคูณด้วยจำนวนจริงและการบวกที่สอดคล้องกับกฎการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยง)

มีสเกลาร์ (บางครั้งเรียกว่าผลิตภัณฑ์ชั้นในหรือจุด) ระหว่างองค์ประกอบสองอย่างใด ๆ ที่ส่งผลให้เกิดจำนวนจริง

ตัวอย่างเช่นพื้นที่แบบยุคลิดแบบสามมิติของเราเป็นตัวอย่างของพื้นที่ฮิลแบร์ตที่มีผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของ # x = (x_1, x_2, x_3) # และ # การ y = (y_1, y_2, y_3) # เท่ากับ # (x, y) = x_1 * y_1 + x_2 * y_2 + x_3 * y_3 #.

ตัวอย่างที่น่าสนใจคือพื้นที่ของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดในส่วน # a, b # ด้วยผลิตภัณฑ์เซนต์คิตส์และเนวิสที่กำหนดเป็น

# (f, g) = int_a ^ b f (x) * g (x) dx #

ในฟิสิกส์ควอนตัมพื้นที่ของฮิลแบร์ตมีบทบาทสำคัญมากในฐานะฟังก์ชั่นที่อธิบายสถานะของระบบ # Psi # เป็นองค์ประกอบของพื้นที่ Hilbert

ฉันสามารถแนะนำ

http://www.phy.ohiou.edu/~elster/lectures/qm1_1p2.pdf

เป็นการแนะนำการใช้ประโยชน์ของพื้นที่ฮิลแบร์ตในฟิสิกส์ควอนตัม