ทฤษฎีบทของ DeMoivre คืออะไร + ตัวอย่าง

ทฤษฎีบท DeMoivre ขยายตัวตามสูตรของออยเลอร์:

# อี ^ (ix) = cosx + isinx #

ทฤษฎีบทของ DeMoivre กล่าวว่า:

• # (จ ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n #
• # (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (i nx) #
• # e ^ (i nx) = cos (nx) + isin (nx) #
• #cos (NX) + isin (NX) - = (cosx + isinx) ^ n #

ตัวอย่าง:

#cos (2x) + isin (2x) - = (cosx + isinx) ^ 2 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx + i ^ ^ 2x 2sin #

อย่างไรก็ตาม # ฉัน ^ 2 = -1 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx บาป ^ 2x #

การแก้ไขส่วนจริงและจินตภาพของ # x #:

# cos ^ 2x-บาป ^ 2x + i (2cosxsinx) #

เปรียบเทียบกับ #cos (2x) + isin (2x) #

#cos (2x) = cos ^ 2x-บาป ^ 2x #

#sin (2x) = 2sinxcosx #

นี่คือสูตรมุมสองเท่าสำหรับ # cos # และ #บาป#

สิ่งนี้ทำให้เราสามารถขยาย #cos (NX) # หรือ #sin (NX) # ในแง่ของพลังของ # sinx # และ # cosx #

ทฤษฎีบทของ DeMoivre สามารถเพิ่มเติมได้:

ป.ร. ให้ไว้ # Z = cosx + isinx #

# Z ^ n = cos (NX) + isin (NX) #

#Z ^ (- n) = (cosx + isinx) ^ (- n) = 1 / (cos (NX) + isin (NX)) #

#Z ^ (- n) = 1 / (cos (NX) + isin (NX)) xx (cos (NX) -isin (NX)) / (cos (NX) -isin (NX)) = (cos (NX) -isin (NX)) / (cos ^ 2 (NX) + sin ^ 2 (NX)) = cos (NX) -isin (NX) #

# Z ^ n + Z ^ (- n) = 2cos (NX) #

# Z ^ n-z ^ (- n) = 2isin (NX) #

ดังนั้นถ้าคุณต้องการที่จะแสดง # บาป ^ NX # ในแง่ของหลายมุม # sinx # และ # cosx #:

# (2isinx) ^ n = (Z-1 / z) ^ n #

ขยายและเรียบง่ายจากนั้นป้อนค่าสำหรับ # Z ^ n + Z ^ (- n) # และ # Z ^ n-z ^ (- n) # ในกรณีที่จำเป็น.

อย่างไรก็ตามหากเกี่ยวข้อง # cos ^ NX #แล้วคุณจะทำ # (2cosx) ^ n = (Z + 1 / z) ^ n # และทำตามขั้นตอนที่คล้ายกัน