ช่วงของเมทริกซ์คืออะไร? + ตัวอย่าง

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

ชุดของเวกเตอร์ครอบคลุมพื้นที่ถ้าเวกเตอร์อื่น ๆ ในพื้นที่สามารถเขียนเป็นชุดเชิงเส้นของชุดสแปน แต่เพื่อให้ได้ความหมายของสิ่งนี้เราต้องดูเมทริกซ์ด้วยคอลัมน์เวกเตอร์

นี่คือตัวอย่างใน #mathcal R ^ 2 #:

ขอเมทริกซ์ของเรา #M = ((1,2), (3,5)) #

นี่คือเวกเตอร์คอลัมน์: #((1),(3))# และ #((2),(5))#ซึ่งมีความเป็นอิสระเชิงเส้นดังนั้นเมทริกซ์คือ ไม่ใช่เอกพจน์ เช่นกลับหัวกลับหาง ฯลฯ

สมมติว่าเราต้องการแสดงให้เห็นว่าจุดทั่วไป # (x, y) # อยู่ในช่วงของเวกเตอร์ 2 ตัวนั่นคือเมทริกซ์มีช่วงทั้งหมด #mathcal R ^ 2 #จากนั้นเรามองไปที่การแก้ปัญหานี้:

#alpha ((1), (3)) + เบต้า ((2), (5)) = ((x), (y)) #

หรือ:

# ((1,2), (3,5)) ((อัลฟา), (เบต้า)) = ((x), (y)) #

คุณสามารถแก้ปัญหานี้ได้หลายวิธีเช่นการลดแถวหรือกลับ M ….. เพื่อรับ:

#alpha = - 5x + 2y, beta = 3x - y #

สมมุติว่าเราต้องการตรวจสอบสิ่งนั้น #(2,3)# อยู่ในช่วงของเมทริกซ์นี้ M เราใช้ผลลัพธ์ที่เราเพิ่งได้รับ:

#alpha = -4 #

#beta = 3 #

ตรวจสอบอีกครั้ง:

#-4 ((1),(3)) + 3 ((2),(5)) = ((2),(3))# !!

พิจารณาเมทริกซ์อื่นต่อไป: #M '= ((1,2), (2,4)) #. นี่คือ เอกพจน์ เพราะคอลัมน์เป็นเวกเตอร์ #((1),(2))# และ #((2),(4))#ขึ้นอยู่เชิงเส้น เมทริกซ์นี้ขยายไปตามทิศทางเท่านั้น #((1),(2))#.