สมการในรูปแบบมาตรฐานของพาราโบลาที่มีโฟกัสอยู่ที่ (42, -31) และ directrix ของ y = 2 คืออะไร

ตอบ:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # แบบฟอร์มมาตรฐาน

คำอธิบาย:

โปรดสังเกตว่า directrix เป็นเส้นแนวนอน

#y = 2 #

ดังนั้นพาราโบลาเป็นประเภทที่เปิดขึ้นหรือลง; รูปแบบจุดสุดยอดของสมการสำหรับประเภทนี้คือ:

#y = 1 / (4f) (x -h) ^ 2 + k "1" #

ที่ไหน # (h, k) # คือจุดสุดยอดและ # F # คือระยะทางแนวตั้งที่ลงนามจากจุดสุดยอดถึงโฟกัส

พิกัด x ของจุดยอดจะเหมือนกับพิกัด x ของโฟกัส:

#h = 42 #

แทน #42# สำหรับ # H # เป็นสมการ 1:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2 + k "2" #

พิกัด y ของจุดสุดยอดอยู่กึ่งกลางระหว่าง directrix และโฟกัส:

#k = (y_ "directrix" + y_ "โฟกัส") / 2 #

#k = (2 + (- 31)) / 2 #

#k = -29 / 2 #

แทน #-29/2# สำหรับ # k # เป็นสมการ 2:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2-29 / 2 "3" #

สมการเพื่อหาค่าของ # F # คือ:

#f = y_ "โฟกัส" -k #

#f = -31- (-29/2) #

#f = -33 / 2 #

แทน #-33/2# สำหรับ # F # เข้าสู่สมการ 3:

#y = 1 / (4 (-33/2)) (x -42) ^ 2-29 / 2 #

ลดความซับซ้อนของเศษส่วน:

#y = -1/66 (x -42) ^ 2-29 / 2 #

ขยายสแควร์:

#y = -1/66 (x ^ 2 -84x + 1764) -29 / 2 #

กระจายเศษส่วน:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 294 / 11-29 / 2 #

รวมคำที่ชอบ:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # แบบฟอร์มมาตรฐาน

ตอบ:

# y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

คำอธิบาย:

เราจะแก้ปัญหานี้ ปัญหา ใช้ดังต่อไปนี้ FOCUS-ไดเรกตริกซ์

ทรัพย์สิน (FDP) ของ รูปโค้ง

FDP: จุดใดก็ได้บน รูปโค้ง คือ มีระยะเท่ากัน จาก

โฟกัส และ ไดเรกตริกซ์

อนุญาตให้จุด # F = F (42, -31), "และ, บรรทัด" d: y-2 = 0, # เป็น

โฟกัส และ ไดเรกตริกซ์ ของ Parabola พูด S

ปล่อย, # P = P (x, y) ใน S, # เป็นใด ๆ จุดทั่วไป

จากนั้นใช้ สูตรระยะทาง เรามีระยะทาง

# FP = sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} …………………………. (1). #

รู้ว่า # bot- #อ. ระหว่างจุด # (k, k), # และบรรทัด:

# ขวาน + โดย + C = 0 # คือ, # | อา + bk + C | / sqrt (ก ^ 2 + B ^ 2) # เราพบว่า

# "the" bot- "dist. btwn" P (x, y), &, d "คือ," | y-2 | ………….. (2) #

โดย FDP, # (1) และ (2), # เรามี, # sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} = | y-2 | หรือ #

# (x-42) ^ 2 = (y-2) ^ 2- (y + 31) ^ 2 = -66y-957, i.e., #

# x ^ 2-84x + 1764 = -66y-957. #

#:. 66y = -x ^ 2 + 84x-2721 # ซึ่งใน แบบฟอร์มมาตรฐาน, อ่าน # y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

เช่น ดักลาสเค. เซอร์ ได้รับมาแล้ว!

สนุกกับคณิตศาสตร์!