คุณจะแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียม 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) ได้อย่างไร

ตอบ:

#x <- 5/2 สี (ขาว) (xx) # หรือ #color (white) (xx) -1 <x <2 #

คำอธิบาย:

ประการแรกโปรดทราบว่าความไม่เท่าเทียมของคุณจะถูกกำหนดเฉพาะเมื่อตัวส่วนของคุณไม่เท่ากับศูนย์:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1 #

#x - 2! = 0 <=> x! = 2 #

ตอนนี้ขั้นตอนต่อไปของคุณคือ "กำจัด" เศษส่วน สิ่งนี้สามารถทำได้ถ้าคูณทั้งสองด้านของความไม่เท่าเทียมกับ # x + 1 # และ # x-2 #.

อย่างไรก็ตามคุณต้องระวังเพราะถ้าคุณคูณความไม่เท่าเทียมกับจำนวนลบคุณต้องพลิกเครื่องหมายความไม่เท่าเทียมกัน

=========================================

ลองพิจารณากรณีที่แตกต่างกัน:

กรณีที่ 1: #color (white) (xxx) x> 2 #:

ทั้งสอง #x + 1> 0 # และ #x - 2> 0 # ถือ. ดังนั้นคุณจะได้รับ:

#x - 2> 3 (x + 1) #

#x - 2> 3x + 3 #

… คำนวณ # -3x # และ #+2# ทั้งสองด้าน…

# -2x> 5 #

… หารด้วย #-2# ทั้งสองด้าน. เช่น #-2# เป็นจำนวนลบคุณต้องพลิกเครื่องหมายความไม่เท่าเทียมกัน …

#x <- 5/2 #

อย่างไรก็ตามไม่มี # x # ที่ตอบสนองทั้งเงื่อนไข #x> 2 # และ #x <- 5/2 #. ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหาในกรณีนี้

=========================================

กรณีที่ 2: #color (white) (xxx) -1 <x <2 #:

ที่นี่ #x + 1> 0 # แต่ #x - 2 <0 #. ดังนั้นคุณต้องพลิกเครื่องหมายความไม่เท่าเทียมกันหนึ่งครั้งและคุณจะได้รับ:

#color (white) (i) x - 2 <3 (x + 1) #

#color (white) (x) -2x <5 #

… หารด้วย #-2# และพลิกเครื่องหมายความไม่เท่าเทียมกันอีกครั้ง …

#color (white) (xxx) x> -5 / 2 #

ความไม่เท่าเทียม #x> -5 / 2 # เป็นจริงสำหรับทุกคน # x # ในช่วงเวลา # -1 <x <2 #. ดังนั้นในกรณีนี้เรามีทางออก # -1 <x <2 #.

=========================================

กรณีที่ 3: #color (white) (xxx) x <-1 #:

ที่นี่ตัวส่วนทั้งสองเป็นลบ ดังนั้นหากคุณคูณความไม่เท่าเทียมกับทั้งคู่คุณต้องพลิกเครื่องหมายความไม่เท่าเทียมสองครั้งและคุณจะได้รับ:

#x - 2> 3x + 3 #

#color (white) (i) -2x> 5 #

#color (white) (xxi) x <- 5/2 #

เป็นไปตามเงื่อนไข #x <-5 / 2 # มีข้อ จำกัด มากกว่าเงื่อนไข #x <-1 #ทางออกสำหรับกรณีนี้คือ #x <- 5/2 #.

=========================================

โดยรวมแล้วการแก้ปัญหาคือ

#x <- 5/2 สี (ขาว) (xx) # หรือ #color (white) (xx) -1 <x <2 #

หรือถ้าคุณชอบสัญลักษณ์ที่แตกต่าง

#x ใน (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

ตอบ:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #

คำอธิบาย:

# 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) #

ปล่อยให้ผ่านไปทางด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกันโดยการลบ # 3 / (x-2) #:

# 1 / (x + 1) -3 / (x-2)> 0 #

ตอนนี้เราต้องใส่ความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดที่เราเป็นตัวหารเดียวกัน ส่วนที่มี (x + 1) เราคูณด้วย # (x-2) / (x-2) # (ซึ่งคือ 1!) และในทางกลับกัน:

# (x-2) / ((x + 1) (x-2)) - (3 (x + 1)) / ((x + 1) (x-2))> 0 #

เราทำเคล็ดลับก่อนหน้านี้เพื่อให้มีความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดด้วยตัวส่วนเดียวกัน:

# (- 2x-5) / ((x + 1) (x-2))> 0 #.

# (x + 1) (x-2) # สอดคล้องกับพาราโบลาที่ให้ค่าบวกในค่า ineterval # -oo, -1 uu 2, + oo # และค่าลบในช่วงเวลา #-1, 2#. จำไว้ว่า x ไม่สามารถเป็น -1 หรือ 2 ได้เนื่องจากให้ส่วนเป็นศูนย์

ในกรณีแรก (ส่วนที่เป็นบวก) เราสามารถทำให้ความไม่เสมอภาคใน:

# -2x-5> 0 # และ #x ใน -oo, -1 uu 2, + oo #

ซึ่งจะช่วยให้:

# x <-5/2 # และ #x ใน -oo, -1 uu 2, + oo #.

การสกัดกั้นของช่วงเวลาข้างต้นให้ # x <-5/2 #.

ในกรณีที่สองตัวส่วนเป็นลบดังนั้นสำหรับผลลัพธ์ที่ให้ตัวเลขเป็นบวกตัวเศษต้องเป็นลบ:

# -2x-5 <0 # และ # x ใน -1, 2 #

ซึ่งจะช่วยให้

# x> -5/2 #. และ # x ใน -1, 2 #

การสกัดกั้นของช่วงเวลาให้ # x ใน -1, 2 #

เข้าร่วมการแก้ปัญหาของทั้งสองกรณีที่เราได้รับ:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #