ฉันจะแก้สมการนี้ได้อย่างไร

ตอบ:

# "ดูคำอธิบาย" #

คำอธิบาย:

# "ใช้ทฤษฎีบทรากที่มีเหตุผลก่อนเพื่อค้นหารากที่มีเหตุผล" #

# "เราพบ" x = 1 "เป็นรากเหตุผล" #

# "ดังนั้น" (x-1) "เป็นปัจจัยเราแบ่งปัจจัยออกเป็น:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "เรามีสมการลูกบาศก์ที่เหลือซึ่งไม่มีรากที่สมเหตุสมผล" #

# "เราสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการแทนที่ของ Vieta" #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Substit" x = y + 2/9 "จากนั้นเราจะได้รับ" #

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Substit" y = (sqrt (22) / 9) z "จากนั้นเราจะได้รับ" #

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "Substit" z = t + 1 / t "จากนั้นเราจะได้รับ" #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "การแทนที่" u = t ^ 3 "ให้ผลสมการกำลังสอง:" #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "รากของสมการกำลังสองนี้คือ u = 5.73717252" #

# "การแทนที่ตัวแปรกลับให้ผลตอบแทน:" #

#t = root (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "รากอื่น ๆ มีความซับซ้อน:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i. #

# "(สามารถพบได้โดยหารออกไป" (x-1.44631151)) #

ตอบ:

ศูนย์จริงที่มีเหตุผลคือ # x = 1 #.

จากนั้นมีค่าเป็นศูนย์ที่ไม่มีเหตุผลจริง:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 +27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113))) #

และเลขศูนย์ที่ซับซ้อนแบบไม่เกี่ยวข้องจริง

คำอธิบาย:

ได้รับ:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

โปรดทราบว่าผลรวมของสัมประสิทธิ์คือ #0#.

นั่นคือ: #3-5+2 = 0#

ดังนั้นเราสามารถอนุมานได้ว่า # x = 1 # เป็นศูนย์และ # (x-1) # ปัจจัย:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (white) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

ลูกบาศก์ที่เหลือค่อนข้างซับซ้อนกว่า …

ได้รับ:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

การแปลง Tschirnhaus

เพื่อให้งานของการแก้ลูกบาศก์ง่ายขึ้นเราจึงสร้างลูกบาศก์ง่ายขึ้นโดยใช้การแทนที่เชิงเส้นที่เรียกว่าการแปลง Tschirnhaus

# 0 = 243f (x) = 729x ^ ^ 3-486x 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# t = ^ 3-66t-610 #

ที่ไหน # t = (9x-2) #

วิธีการของ Cardano

เราต้องการที่จะแก้ปัญหา:

# T ^ 3-66t-610 = 0 #

ปล่อย # t = U + V #.

แล้ว:

# U ^ 3 + V ^ 3 + 3 (UV-22) (U + V) -610 = 0 #

เพิ่มข้อ จำกัด # v = 22 / u # เพื่อกำจัด # (U + V) # ระยะและรับ:

# U ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

คูณด้วย # U ^ 3 # และจัดเรียงใหม่เล็กน้อยเพื่อรับ:

# (U ^ 3) ^ 2-610 (U ^ 3) + 10,648 = 0 #

ใช้สูตรสมการกำลังสองเพื่อค้นหา:

# U ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372,100-42,592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329,508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

ตั้งแต่นี้เป็นจริงและที่มาเป็นสมมาตรมา #ยู# และ # v #เราสามารถใช้หนึ่งในรากเหล่านี้เพื่อ # U ^ 3 # และอื่น ๆ สำหรับ # v ^ 3 # เพื่อค้นหารูทจริง:

# t_1 = ราก (3) (305 + 27sqrt (113)) + ราก (3) (305-27sqrt (113)) #

และรากที่ซับซ้อนที่เกี่ยวข้อง:

# t_2 = omega root (3) (305 +27sqrt (113)) + omega ^ 2 root (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = omega ^ 2 root (3) (305 +27sqrt (113)) + root omega (3) (305-27sqrt (113)) #

ที่ไหน # โอเมก้า = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # เป็นรากลูกบาศก์คอมเพล็กซ์ดั้งเดิมของ #1#.

ตอนนี้ # x = 9/1 (2 + T) #. ดังนั้นรากของลูกบาศก์ดั้งเดิมของเราคือ:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 +27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_2 = 1/9 (2 + omega root (3) (305 +27sqrt (113)) + omega ^ 2 root (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 root (3) (305 +27sqrt (113)) + root omega (3) (305-27sqrt (113))) #