ค่าต่ำสุดของ f (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 คืออะไร?

# f (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4Y-2 #

# => f (x, y) = x ^ 2-2 * * * * * * * * x (3y) + (3y) ^ 2 + (2y) ^ * 2-2 (2y) * 1 + 1 ^ 2-3 #

# => f (x, y) = (x-3y) ^ 2 + (2y-1) ^ # 2-3

ค่าต่ำสุดของนิพจน์กำลังสองแต่ละค่าต้องเป็นศูนย์

ดังนั้น # f (x, y) _ "นาที" = - 3 #

ตอบ:

มีขั้นต่ำสัมพัทธ์เป็น #(3/2,1/2)# และ # f (3 / 2,1 / 2) = - 3 #

คำอธิบาย:

ฉันคิดว่าเราต้องคำนวณอนุพันธ์ย่อย

ที่นี่

# f (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4Y-2 #

อนุพันธ์ย่อยส่วนแรกคือ

# (DELF) / (delx) = 2x-6Y #

# (DELF) / (Dely) = 26y-6x-4 #

จุดสำคัญคือ

# {(2x-6Y = 0), (26y-6x-4 = 0):} #

#<=>#, # {(3y = x), (26y-6 * 3y-4 = 0):} #

#<=>#, # {(3y = x), (8y = 4):} #

#<=>#, # {(x = 2/3) (y = 2/1):} #

อนุพันธ์อันดับสองคือ

# (เดล ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #

# (เดล ^ 2f) / (Dely ^ 2) = 26 #

# (เดล ^ 2f) / (delxdely) = - 6 #

# (เดล ^ 2f) / (delydelx) = - 6 #

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ Hessian คือ

#D (x, y) = | ((เดล ^ 2f) / (delx ^ 2), (เดล ^ 2f) / (delxdely)), ((เดล ^ 2f) / (Dely ^ 2), (เดล ^ 2f) / (delydelx)) | #

#=|(2,-6),(-6,26)|#

#=52-36#

#=16>0#

เช่น #D (x, y)> 0 #

และ

# (เดล ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2> 0 #

มีขั้นต่ำสัมพัทธ์เป็น #(3/2,1/2)#

และ

# f (3 / 2,1 / 2) = 1.5 ^ 2 + 13 * 0.5 ^ 2-6 * 1.5 * * * * * * * * 0.5-4 0.5-2 = -3 #