Extrema ของ f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 บน [-oo, oo] คืออะไร?

ตอบ:

# f (x) # มีขั้นต่ำที่ # x = 2 #

คำอธิบาย:

ก่อนดำเนินการต่อโปรดทราบว่านี่คือพาราโบลาที่หันขึ้นด้านบนซึ่งหมายความว่าเราสามารถรู้ได้โดยไม่ต้องคำนวณเพิ่มเติมว่ามันจะไม่มี maxima และขั้นต่ำสุดเพียงจุดเดียว การทำตารางให้สมบูรณ์จะแสดงให้เราเห็นว่า #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #ให้จุดสุดยอดและทำให้ขั้นต่ำเพียงอย่างเดียวที่ #x = 2 #. เรามาดูกันว่าจะทำอย่างไรกับแคลคูลัส

Extrema ใด ๆ จะเกิดขึ้นที่จุดวิกฤติหรือที่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลาที่กำหนด ตามช่วงเวลาที่เรากำหนด # (- OO, OO) # เปิดอยู่เราสามารถเพิกเฉยต่อความเป็นไปได้ของจุดสิ้นสุดดังนั้นก่อนอื่นเราจะระบุจุดวิกฤติของฟังก์ชั่นนั่นคือจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นคือ #0# หรือไม่มีอยู่จริง

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

การตั้งค่านี้เท่ากับ #0#เราพบจุดวิกฤติที่ # x = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

ตอนนี้เราสามารถทดสอบเพื่อดูว่ามันเป็น extremum (และชนิดใด) โดยการตรวจสอบค่าบางอย่างของ # F # รอบจุดนั้นหรือโดยใช้การทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่สอง ลองใช้อันหลัง

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

เช่น #f '' (2) = 6> 0 #การทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่สองบอกเราว่า # f (x) # มีขั้นต่ำในท้องถิ่นที่ # x = 2 #

ดังนั้นการใช้ # f (x) # และ # f '' (x) #เราพบว่า # f (x) # มีขั้นต่ำที่ # x = 2 #ตรงกับผลลัพธ์ที่เราพบโดยใช้พีชคณิต