คะแนน extrema และ saddle ของ f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y คืออะไร?

ฉันพบว่าไม่มีคะแนนอาน แต่มีขั้นต่ำ:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

ในการค้นหาเอกซ์ทรัคให้ใช้อนุพันธ์ย่อยด้วยความเคารพ # x # และ # Y # เพื่อดูว่าทั้งอนุพันธ์ย่อยบางส่วนสามารถเท่ากันหรือไม่ #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

หากพวกเขาพร้อมกันจะต้องเท่ากัน #0#พวกเขาเป็น ระบบสมการ:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

นี้ เชิงเส้น ระบบสมการเมื่อลบออกเพื่อยกเลิก # Y #ให้:

# 3x - 1 = 0 => สี (สีเขียว) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => สี (สีเขียว) (y = -2/3) #

เนื่องจากสมการเป็นเส้นตรงมีจุดวิกฤติเพียงจุดเดียวเท่านั้น อนุพันธ์อันดับสองจะบอกเราว่ามันเป็นสูงสุดหรือต่ำสุด

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

ส่วนที่สองเหล่านี้อยู่ในข้อตกลงดังนั้นกราฟจึงมีการเว้าตามแนว # x # และ # Y # แกน

คุณค่าของ # f (x, y) # ที่จุดวิกฤติคือ (โดยเสียบกลับเข้าไปในสมการดั้งเดิม):

#color (เขียว) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = สี (สีเขียว) (- 1/3) #

ดังนั้นเรามี ขั้นต่ำ ของ #color (สีน้ำเงิน) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

ตอนนี้สำหรับ ข้ามอนุพันธ์ เพื่อตรวจสอบจุดอานที่อาจเป็นไปตามทิศทางแนวทแยง:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

เนื่องจากสิ่งเหล่านี้ทั้งคู่เห็นด้วยเช่นกันแทนที่จะเป็นสัญญาณตรงกันข้าม ไม่มีจุดอาน.

เราสามารถดูว่ากราฟนี้มีลักษณะเป็นอย่างไรเพื่อตรวจสอบ: