ครึ่งชีวิตของโคบอลต์ 60 คือ 5 ปี คุณจะได้รับตัวแบบการอธิบายเลขชี้กำลังสำหรับโคบอลต์ 60 ในรูปแบบ Q (t) = Q0e ^ kt ได้อย่างไร

ตอบ:

#Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #

คำอธิบาย:

เราตั้งสมการเชิงอนุพันธ์ เรารู้ว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของโคบอลต์เป็นสัดส่วนกับปริมาณของโคบอลต์ที่มีอยู่ เรารู้ด้วยเช่นกันว่ามันคือตัวแบบการสลายตัวดังนั้นจะมีเครื่องหมายลบ:

# (dQ) / (dt) = - kQ #

นี่คือ eq diff ที่ดีง่ายและแยกได้:

#int (dQ) / (Q) = -k int dt #

#ln (Q) = - kt + C #

#Q (0) = Q_0 #

#ln (Q_0) = C #

# หมายถึง ln (Q) = ln (Q_0) - kt #

#ln (Q / Q_0) = -kt #

ยกแต่ละด้านเพื่อยกกำลัง:

# (Q) / (Q_0) = e ^ (- kt) #

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) #

ตอนนี้เรารู้รูปแบบทั่วไปแล้วเราต้องหาว่าอะไร # k # คือ.

ให้ครึ่งชีวิตได้รับการแทนด้วย # # เอกภาพ.

#Q (tau) = Q_0 / 2 = Q_0e ^ (- ktau) #

#therefore 1/2 = e ^ (- ktau) #

จดบันทึกธรรมชาติของทั้งสองด้าน:

#ln (1/2) = -ktau #

#k = - (ln (1/2)) / tau #

สำหรับความเป็นระเบียบเรียบร้อยเขียนใหม่ #ln (1/2) = -ln (2) #

#therefore k = ln (2) / tau #

#k = ln (2) / (5) yr ^ (- 1) #

#therefore Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #