อะไรคือ asymptote (s) และ hole (s), ถ้ามี, ของ f (x) = x / (x ^ 3-x)?

ตอบ:

หลุม 0

เส้นกำกับแนวดิ่ง #+-1#

เส้นกำกับแนวนอน 0

คำอธิบาย:

เส้นกำกับแนวดิ่งหรือหลุมถูกสร้างขึ้นโดยจุดที่โดเมนเท่ากับศูนย์คือ # x ^ 3 x = 0 #

# x (x ^ 2-1) = 0 #

ดังนั้นทั้ง # x = 0 # หรือ # x ^ 2-1 = 0 #

# x ^ 2-1 = 0 # ดังนั้น # x + = - 1 #

เส้นกำกับแนวนอนถูกสร้างขึ้นโดยที่ส่วนบนและด้านล่างของเศษส่วนไม่ถูกยกเลิก ในขณะที่หลุมคือเมื่อคุณสามารถยกเลิกได้

ดังนั้น #COLOR (สีแดง) x / (สี (สีแดง) x (x ^ 2-1)) = 1 / (x ^ 2-1) #

ดังนั้นในขณะที่ # x # กากบาท 0 เป็นเพียงหลุม ในขณะที่เป็น # x ^ 2-1 # ซากศพ #+-1# เป็นเส้นกำกับ

สำหรับเส้นกำกับแนวนอนเราพยายามค้นหาว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อ x เข้าใกล้อนันต์หรืออินฟินิตี้ลบ

ในการทำเช่นนี้หารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ # x # ในตัวส่วน

#limxtooo (x / (x ^ 3)) / (x ^ 3 / x ^ 3-x / x ^ 3) = limxtooo (1 / (x ^ 2)) / (1-1 / x ^ 2) = (1 / (OO ^ 2)) / (1-1 / อู ^ 2) = 0 / (1-0) = 0/1 = 0 #

ในการทำสิ่งนี้เราต้องรู้กฎสองข้อ

# limxtooox ^ 2 = OO #

และ

# limxtooo1 / x ^ n = 1 / oo = 0 ถ้า n> 0 #

สำหรับข้อ จำกัด ในการลบ infinty เราต้องทำให้ทั้งหมด # x # เข้าไป # # -x

# limxtooo = -x / (- x ^ 3 + x) = (- x / (x ^ 3)) / (- x ^ 3 / x ^ 3 + x / x ^ 3) = limxtooo (-1 / (x ^ 2)) / (- 1 + 1 / x ^ 2) = (- 1 / (OO ^ 2)) / (- 1 + 1 / OO ^ 2) = 0 / (- 1 + 0) = 0 / - 1 = 0 #

ดังนั้นเส้นกำกับแนวนอนเมื่อ x เข้าใกล้ # + - อู # คือ 0