ลดความซับซ้อนอย่างสมบูรณ์: 1 - 2sin ^ 2 20 °?

จำได้ว่า

#cos (2x) = 1 - 2sin ^ 2x #

ดังนั้น

#cos (40) = 1 - 2sin ^ 2 (20) #

ดังนั้นการแสดงออกของเราเทียบเท่ากับ #cos (40) #.

หวังว่านี่จะช่วยได้!

ตอบ:

# 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ = cos 40 ^ circ #

คำอธิบาย:

"สมบูรณ์" เป็นเป้าหมายที่คลุมเครือในตรีโกณมิติอย่างที่เราจะได้เห็น

ประการแรกประเด็นของปัญหานี้คือการรู้จักรูปแบบไซน์ของสูตรมุมคู่โคไซน์:

#cos (2 theta) = cos (theta + theta) = cos theta cos theta - sin theta sin theta ## = cos ^ 2 theta - sin ^ 2 theta = (1- sin ^ 2 theta) - sin ^ 2 theta #

#cos (2 theta) = 1 - 2 sin ^ 2 theta #

เขียนสิ่งนี้เพื่อ # theta = 20 ^ circ #, #cos (2 (20 ^ circ)) = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

#cos 40 ^ circ = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

สันนิษฐานว่า #cos 40 ^ circ # คือผลลัพธ์ที่ได้ "ทำให้สมบูรณ์"

นั่นคือคำตอบ Monzur แนะนำว่าฉันให้คำเตือนก่อนส่วนถัดไป มันเป็นทางเลือกโดยสิ้นเชิง โปรดอ่านต่อไปหากคุณต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ #cos 40 ^ circ # และหยุดอ่านถ้าคุณไม่

#cos 40 ^ circ # ถูกทำให้เรียบง่ายอย่างสมบูรณ์เนื่องจากไม่มีการแสดงออกใด ๆ ที่ดีกว่าที่เราสามารถจดบันทึกได้มากกว่า #cos 40 ^ circ #. # 40 ^ circ # ไม่สามารถสร้างขึ้นได้ด้วยเส้นตรงและเข็มทิศ นั่นหมายความว่าฟังก์ชั่นตรีโกณมิติไม่ใช่ผลลัพธ์ของเลขจำนวนเต็มที่ประกอบด้วยการบวกการลบการคูณและการหารและรากที่สอง

#cos 40 ^ circ # ที่จริงแล้วเป็นรากของสมการพหุนามกับสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม # theta = 40 ^ circ # ตอบสนองสมการ #cos (44 theta) = - cos (46 theta) #. ถ้า #x = cos theta, # นั่นคือ #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x), # ที่ไหน # T #s เป็นชื่อพหุนาม Chebyshev ของชนิดแรก แทนที่จะเป็นสูตรมุมสองและสามมุมพวกมันคือสูตรมุม 44 และ 46 เท่า

ดังนั้น #cos (40 ^ circ) # เป็นหนึ่งในรากของสี่สิบหกของ:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 15723016277368 788 7 7 7 7 7 8 9 10 7 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 รวมทั้ง 14, 9898139 ที่สมบูรณ์แบบ # 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 15723016277808 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 1689 x60 x2628 ^ 16 + 40 1626 383 x 383 ^ ^ 16 + 40 259 3838886962683 1626 x 38 + 2689 45859278611605268 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

นั่นไม่ง่ายเลย