ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน f (x) = cos (x / 2) ในช่วง [-4,0] คืออะไร?

ตอบ:

# 1 / 2sin (2) #ประมาณ #0.4546487#

คำอธิบาย:

ค่าเฉลี่ย c # # ของฟังก์ชั่น # F # ในช่วงเวลา # a, b # มอบให้โดย:

# c = 1 / (ขก) int_a ^ BF (x) DX #

นี่แปลเป็นค่าเฉลี่ยของ:

# c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) DX #

ลองใช้การแทนที่กัน # U = x / 2 #. นี่ก็หมายความว่า # du = 1 / 2DX #. จากนั้นเราสามารถเขียนอินทิกรัลได้เช่น:

# c = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) DX #

# c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2DX) #

แยกขึ้น #1/4# เข้าไป #1/2*1/2# อนุญาตสำหรับ # 1 / 2DX # มีอยู่ในอินทิกรัลเพื่อให้เราสามารถทำการทดแทนได้ง่าย # 1 / 2DX = du #. เราต้องเปลี่ยนขอบเขตให้เป็นขอบเขตของ #ยู#ไม่ใช่ # x #. การทำเช่นนี้ใช้เวลาในปัจจุบัน # x # ขอบเขตและเสียบเข้ากับ # U = x / 2 #.

# c = 1 / 2int _ (- 2) ^ 0cos (U) du #

นี่คืออินทิกรัลทั่วไป (โปรดสังเกตว่า # d / dxsin (x) = cos (x) #):

# c = 2/1 บาป (U) _ (- 2) ^ 0 #

การประเมินการ:

# c = 2/1 (บาป (0) -sin (-2)) #

# c = -1 / 2sin (-2) #

สังเกตได้ว่า #sin (-x) = - บาป (x) #:

# c = 1 / 2sin (2) #

#c ประมาณ 0.4546487 #

ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชั่น f (x) = (x-1) ^ 2 ในช่วง [1,5] คืออะไร?

16/3 f (x) = (x-1) ^ 2 = x ^ 2-2x + 1 "ค่าเฉลี่ยของทุกจุดของ" f (x) ใน [a, b] = (int_a ^ bf (x) dx) / (ba) int_1 ^ 5 (x ^ 2-2x + 1) dx = [x ^ 3/3-x ^ 2 + x] _1 ^ 5 = [5 ^ 3 / 3-5 ^ 2 + 5] - [ 1 / 3-1 + 1] = 65 / 3-1 / 3 = 64/3 (64/3) / 4 = 16/3

ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน f (x) = 18x + 8 ในช่วง [0,10] คืออะไร?

98 ค่าเฉลี่ยของ f ใน [a, b] คือ 1 / (b-a) int_a ^ b f (x) dx สำหรับปัญหานี้นั่นคือ 1 / (10-0) int_0 ^ 10 (18x + 8) dx = 1/10 [9x ^ 2 + 8x] _0 ^ 10 = 1/10 [980] = 98

ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน f (x) = 2x ^ 3 (1 + x ^ 2) ^ 4 ในช่วง [0,2] คืออะไร

ค่าเฉลี่ยคือ 4948/5 = 989.6 ค่าเฉลี่ยของ f ในช่วงเวลา [a, b] คือ 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx ดังนั้นเราจะได้รับ: 1 / (2-0) int_0 ^ 2 2x ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 4 dx = 2/2 int_0 ^ 2 x ^ 3 (x ^ 8 + 4x ^ 6 + 10x ^ 4 + 4x ^ 2 + 1) dx = int_0 ^ 2 (x ^ 11+ 4x ^ 9 + 10x ^ 7 + 4x ^ 5 + x ^ 3) dx = x ^ 12/12 + (4x ^ 10) / 10 + (6x ^ 8) / 8 + (4x ^ 6) / 6 + x ^ 4/4] _0 ^ 2 = (2) ^ 12/12 + (2 (2) ^ 10) / 5 + (3 (2) ^ 8) / 4 + (2 (2) ^ 6) / 3 + ( 2) ^ 4/4 = 4948/5 = 9896/10 = 989.6