ความชันของเส้นตั้งฉากกับเส้นสัมผัสของ f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) ที่ x = (15pi) / 8 คืออะไร

ตอบ:

# => y = 0.063 (x - (15pi) / 8) - 1.08 #

กราฟเชิงโต้ตอบ

คำอธิบาย:

สิ่งแรกที่เราต้องทำคือการคำนวณ # f (x) # ที่ #x = (15pi) / 8 #.

ลองทำเทอมนี้ด้วยเทอม สำหรับทาง # วินาที ^ 2 (x) # คำศัพท์โปรดทราบว่าเรามีสองฟังก์ชั่นที่ฝังอยู่ภายในซึ่งกันและกัน: # x ^ 2 #และ #sec (x) #. ดังนั้นเราจะต้องใช้กฎลูกโซ่ที่นี่:

# d / dx (วินาที (x)) ^ 2 = 2 วินาที (x) * d / dx (วินาที (x)) #

#color (blue) (= 2sec ^ 2 (x) tan (x)) #

สำหรับคำที่ 2 เราจะต้องใช้กฎผลิตภัณฑ์ ดังนั้น:

# d / dx (xcos (x-pi / 4)) = color (สีแดง) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + สี (สีแดง) (d / dxcos (x-pi / 4)) (x) #

#color (สีน้ำเงิน) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

คุณอาจสงสัยว่าทำไมเราไม่ใช้กฎลูกโซ่สำหรับส่วนนี้เนื่องจากเรามี # (x - pi / 4) # ภายในโคไซน์ คำตอบคือเราทำโดยปริยาย แต่เราเพิกเฉย สังเกตว่าอนุพันธ์ของ # (x - pi / 4) # เป็นเพียง 1 ดังนั้นการคูณที่เปิดจะไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลยเราจึงไม่เขียนลงในการคำนวณ

ตอนนี้เรารวมทุกอย่างเข้าด้วยกัน:

# d / dx (วินาที ^ 2x-xcos (x-pi / 4)) = สี (สีม่วง) (2sec ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4)) #

ดูสัญญาณของคุณ

ทีนี้เราต้องหาความชันของเส้นสัมผัสแทน # f (x) # ที่ #x = (15pi) / 8 #. ในการทำเช่นนี้เราแค่เสียบค่านี้เข้าไป # f (x) #:

#f '((15pi) / 8) = (2sec ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8)) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin ((15pi) / 8-pi / 4)) = color (violet) (~~ -6.79) #

อย่างไรก็ตามสิ่งที่เราต้องการไม่ใช่เส้นสัมผัสแทน f (x) แต่เป็นเส้นตรง ปกติ เพื่อมัน เพื่อให้ได้สิ่งนี้เราก็แค่ลบส่วนกลับของความชันด้านบน

#m_ (ปกติ) = -1 / -15.78 สี (ม่วง) (~~ 0.015) #

ตอนนี้เราเพียงใส่ทุกอย่างลงในรูปแบบความชันพอยต์:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0.063 (x - (15pi) / 8) - 1.08 #

ลองดูกราฟเชิงโต้ตอบนี้เพื่อดูว่านี่เป็นอย่างไร!

หวังว่าจะช่วย:)