ช่วงของ e ^ x / ([x] +1), x> 0 และที่ไหน [x] หมายถึงจำนวนเต็มที่มากที่สุด?

ตอบ:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

คำอธิบาย:

ผมถือว่า # x # เป็นจำนวนเต็มที่เล็กที่สุดที่ใหญ่กว่า # x #. ในคำตอบต่อไปนี้เราจะใช้สัญลักษณ์ #ceil (x) #เรียกว่าฟังก์ชั่นเพดาน

ปล่อย #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #. ตั้งแต่ # x # มีขนาดใหญ่กว่าอย่างเคร่งครัด #0#ซึ่งหมายความว่าโดเมนของ # F # คือ # (0 + OO) #.

เช่น # x> 0 #, #ceil (x)> 1 # และตั้งแต่ # อี ^ x # เป็นบวกเสมอ # F # ใหญ่กว่าเสมอเสมอ #0# ในโดเมน เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่า # F # คือ ไม่ ฉีดและยังไม่ต่อเนื่องที่หมายเลขธรรมชาติ เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ให้ # n # เป็นจำนวนธรรมชาติ:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

เพราะ # x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

ในทำนองเดียวกัน #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

เนื่องจากขีด จำกัด ด้านซ้ายและด้านขวาไม่เท่ากัน # F # ไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็ม นอกจากนี้ #L> R # เพื่อทุกสิ่ง #n ใน NN #.

เช่น # F # กำลังเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาที่ล้อมรอบด้วยจำนวนเต็มบวก "ค่าที่เล็กที่สุด" ต่อช่วงเวลาจะเป็นดังนี้ # x # เข้าหาขอบเขตล่างจากด้านขวา

ดังนั้นค่าต่ำสุดของ # F # กำลังจะเป็น

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

นี่คือขอบเขตล่างของช่วง # F #.

ในขณะที่มันไม่ถูกต้องอย่างแท้จริงที่จะบอกว่า # F # มันกำลังเพิ่มขึ้น, มันอยู่ในความรู้สึก, แบบอะซิมโตติติก, มันเข้าใกล้อินฟินิตี้ - ตามที่พิสูจน์ด้านล่าง:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (ceil (x) +1) #

เช่น #ceilx> = x #มี #delta <1 # ดังนั้น # ceilx = x + เดลต้า #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

ปล่อย #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (เดลต้า + 1) #

# อียู ^ # เพิ่มขึ้นชี้แจงในขณะที่ #ยู# ไม่เชิงเส้นหมายความว่า

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (เดลต้า + 1) = oo * 1 / e ^ (เดลต้า + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

ดังนั้นช่วงของ # F # คือ

# "พิสัย" = (1/2, oo) #

ช่วงเวลาเปิดทางด้านซ้ายเพราะ #http: // 2 # ยังคงเป็น # f (0) #และเป็น # x # วิธีการ #0^+#, # f (x) # แนวทางเท่านั้น #http: // 2 #; มันไม่เท่ากันอย่างแท้จริง