แสดงว่าสมการ px ^ 2 + qx + r = 0 และ qx ^ 2 + rx + p = 0 จะมีรูทร่วมถ้า p + q + r = 0 หรือ p = q = r?

ตอบ:

ดูคำอธิบาย …

ถ้า $p = q = R$ แล้ว:

$px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p$

ดังนั้นเลขศูนย์ใด ๆ ที่พวกเขามีจะเหมือนกัน

โปรดทราบว่าไม่จำเป็นต้องมีเงื่อนไขเหล่านี้

ตัวอย่างเช่นถ้า $p = 0$ , $q! = 0$ และ $r! = 0$ แล้ว:

$px ^ 2 + QX + r = 0$ มีราก $x = -R / q$

$QX ^ 2 + RX + P = 0$ มีราก $x = -R / q$ และ $x = 0$

ดังนั้นสมการทั้งสองมีรากเหมือนกัน แต่ $p! = Q$ และเราไม่ต้องการ $P + Q + R = 0$ .

โปรดดูที่ด้านล่าง.

เช่น $px ^ 2 + QX + r = 0$ และ $QX ^ 2 + RX + P = 0$ มีรากที่พบบ่อยให้รากนี้เป็น อัลฟา . แล้วก็

$palpha ^ 2 + qalpha + r = 0$ และ $qalpha ^ 2 + ralpha + P = 0$

และด้วยเหตุนี้ $อัลฟา ^ 2 / (PQ-R ^ 2) = อัลฟ่า / (QR-P ^ 2) = 1 / (PR-Q ^ 2)$

และ $อัลฟา = (QR-P ^ 2) / (PR-Q ^ 2)$ และ $อัลฟา ^ 2 = (PQ-R ^ 2) / (PR-Q ^ 2)$

นั่นคือ $(QR-P ^ 2) ^ 2 / (PR-Q ^ 2) ^ 2 = (PQ-R ^ 2) / (PR-Q ^ 2)$

หรือ $(QR-P ^ 2) ^ 2 = (PQ-R ^ 2) (PR-Q ^ 2)$

หรือ $Q ^ 2r ^ 2 + P ^ ^ 4-2p 2qr p = ^ 2qr-PQ ^ 3-PR ^ 3 ^ + Q 2r ^ 2$

หรือ $P ^ 4 + PQ ^ 3 + PR ^ ^ 3-3p 2qr = 0$ และหารด้วย $P$

หรือ $P ^ 3 + Q ^ 3 ^ + R 3-3pqr = 0$

นั่นคือ $(P + Q + R) (P ^ 2 + Q ^ 2 + R ^ 2-PQ-QR-RP) = 0$

ดังนั้นทั้ง $P + Q + R = 0$ หรือ $P ^ 2 + Q ^ 2 + R ^ 2-PQ-QR-RP = 0$

สังเกตว่าเป็น $อัลฟา ^ 2 / (PQ-R ^ 2) = อัลฟ่า / (QR-P ^ 2) = 1 / (PR-Q ^ 2)$

$อัลฟา ^ 2 / (PQ-R ^ 2) = อัลฟ่า / (QR-P ^ 2) = 1 / (PR-Q ^ 2) = (alpha ^ 2 + อัลฟา + 1) / (P ^ 2 + Q ^ 2 + R ^ 2-PQ-QR-RP)$

และถ้า $P ^ 2 + Q ^ 2 + R ^ 2-PQ-QR-RP = 0$ , เรามี $อัลฟา ^ 2 + อัลฟา + 1 = 0$ นั่นคือ $p = q = R$