Int (cos (x)) ^ 4 dx คืออะไร - แคลคูลัส 2025

ตอบ:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

คำอธิบาย:

ในขณะที่เริ่มปรากฏว่าเป็นอินทิกรัลน่ารำคาญจริง ๆ เราสามารถใช้ประโยชน์จากข้อมูลเฉพาะตัวของตรีโกณฯ เพื่อแยกอินทิกรัลนี้ออกเป็นชุดอินทิกรัลเรียบง่ายที่เราคุ้นเคยมากกว่า

ตัวตนที่เราจะใช้คือ:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถจัดการกับสมการของเราเช่น:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

ตอนนี้เราสามารถใช้กฎของเราอีกครั้งเพื่อกำจัด cos ^ 2 (2x) ภายในวงเล็บ:

# 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2+ 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3+ 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

ตอนนี้เรามีปัญหาการรวมเข้าด้วยกันที่ค่อนข้างง่ายเราสามารถแจกจ่ายอินทิกรัลลงในแม่แบบของเราเพื่อที่:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

อินทิกรัลตรีโกณมิติแต่ละตัวนั้นมีกฎง่ายๆ #int cos (axe) dx = 1 / a sin (axe) #.

ดังนั้น, # = 1/8 3x + 2 บาป (2x) + 1/4 บาป (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

แสดงว่าcos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos²6π / 10 + cos²9π / 10 = 2 ฉันสับสนเล็กน้อยถ้าฉันทำCos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10) มันจะเปลี่ยนค่าลบเป็น cos (180 ° -theta) = - costheta ใน ด้านที่สอง ฉันจะไปพิสูจน์คำถามได้อย่างไร

โปรดดูที่ด้านล่าง. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Int (sin x) / (cos ^ 2x + 1) dx คืออะไร

Int (sin (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = -arctan (cos (x)) + C เราจะแนะนำการแทนที่ u- ด้วย u = cos (x) อนุพันธ์ของคุณจะเป็น -sin (x) ดังนั้นเราจึงหารด้วยเพื่อรวมเข้ากับ u: int (sin (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = int ยกเลิก (sin (x)) / (1 + u ^ 2) * 1 / (- ยกเลิก (sin (x))) dx = -int 1 / (1 + u ^ 2) du นี่คืออาร์คตันที่คุ้นเคย อินทิกรัลซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์คือ: -int 1 / (1 + u ^ 2) du = -arctan (u) + C เราสามารถ resubstitute u = cos (x) เพื่อให้ได้คำตอบในรูปของ x: -arctan (cos (x)) + C

อินทิกรัลของ int sin (x) ^ 3 * cos (x) dx คืออะไร?

= (sin ^ 4 (x)) / (4) + C int_ sin ^ 3 (x) * cos (x) dx เราสามารถใช้การแทนที่เพื่อลบ cos (x) ดังนั้นให้ใช้ sin (x) เป็นแหล่งข้อมูลของเรา u = sin (x) ซึ่งหมายความว่าเราจะได้รับ (du) / (dx) = cos (x) การค้นหา dx จะให้, dx = 1 / cos (x) * du ตอนนี้แทนที่อินทิกรัลเดิมด้วยการแทนที่ int_ u ^ 3 * cos (x) * 1 / cos (x) du เราสามารถยกเลิก cos (x) ที่นี่, int_ u ^ 3 du = 1 / (3 + 1) u ^ (3 + 1) + C = 1/4 u ^ 4 + C ตอนนี้ตั้งค่าสำหรับ u = sin (x) ^ 4/4 + C = sin ^ 4 (x) / 4 + C