ตั๋วหนึ่งใบสุ่มจากถุงที่มี 30 ใบที่มีหมายเลขตั้งแต่ 1 ถึง 30 คุณจะพบความน่าจะเป็นที่เป็นทวีคูณของ 2 หรือ 3 ได้อย่างไร

ตอบ:

#2/3#

คำอธิบาย:

พิจารณาลำดับดังนี้

ผลคูณของ 2#->#2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30

ผลคูณของ 3# -> 3 สี (สีแดง) (6), 9, สี (สีแดง) (12), 15, สี (สีแดง) (18), 21, สี (สีแดง) (24), 27, สี (สีแดง) (30) #

ขอให้สังเกตว่าทวีคูณของ 3 ที่เป็นสีแดงก็เกิดขึ้นในทวีคูณของ 2

ดังนั้นจำนวนทั้งหมดที่มีให้เลือกคือ 15 + 5 = 20

ความน่าจะเป็นก็คือ #20/30=2/3#

ตอบ:

ความน่าจะเป็นคือ #2/3#.

คำอธิบาย:

เราใช้ กฎรวมของความน่าจะเป็นซึ่งระบุว่าสำหรับสองเหตุการณ์ # A # และ # B #,

#P (A "หรือ" B) = P (A) + P (B) -P (A "และ" B) #

เรามาอธิบายเรื่องนี้พร้อมกับคำถามข้างต้นเป็นตัวอย่าง

สำหรับคำถามนี้เราปล่อยให้ # A # เป็นเหตุการณ์ที่ตั๋วเป็นผลคูณของ 2 และเราปล่อยให้ # B # เป็นเหตุการณ์ที่มันเป็นทวีคูณของ 3 จาก 30 ใบครึ่งหนึ่งของจำนวนนั้นจะเป็นทวีคูณของ 2: #{2, 4, 6, …, 28, 30}.# ดังนั้นเราจึงมี:

#P (A) = 15/30 = 1/2 #

และจากไพ่ 30 ใบ, 10 จะเป็นทวีคูณของ 3: #{3, 6, 9, …, 27, 30},# ให้เรา

#P (B) = 10/30 = 3/1 #

ทีนี้ถ้าเราบวกความน่าจะเป็นสองอย่างนี้เข้าด้วยกันเราจะได้

#P (A) + P (B) = 15/30 + 10/30 #

#COLOR (สีขาว) (P (A) + P (B)) = 25 / 30color (สีขาว) "XXXX" = 6/5 #

เราอาจถูกล่อลวงให้หยุดที่นั่น แต่เราจะผิด ทำไม? เพราะเรา สองครั้งนับ ความน่าจะเป็นของการเลือกตัวเลขบางส่วน เมื่อเราจัดเรียงสองชุดเข้าด้วยกันเป็นเรื่องง่ายที่จะดูว่าชุดใด:

# {color (white) (1,) 2, color (white) (3,) 4, color (white) (5,) 6, color (white) (7,) 8, color (white) (9,) 10, สี (ขาว) (11,) 12, …, สี (ขาว) (27,) 28, สี (ขาว) (29,) 30} #

# {color (white) (1, 2,) 3, color (white) (4, 5,) 6, color (white) (7, 8,) 9, color (white) (10, 11,) 12, …, 27, สี (ขาว) (28, 29,) 30} #

เราได้นับทวีคูณของ 6 ทั้งหมด - นั่นคือ, ตัวเลขทั้งหมดที่คูณ ทั้ง 2 และ 3. นี่คือเหตุผลที่เราจำเป็นต้อง ลบความน่าจะเป็นของ "A และ B" จากผลรวมข้างต้น มันจะลบการนับซ้ำของผลลัพธ์ใด ๆ ที่เหมือนกัน # A # และ # B #.

คืออะไร #P (A "และ" B) #? มันเป็นความน่าจะเป็นของตั๋วที่มีทั้งทวีคูณของ 2 และ 3 ในเวลาเดียวกัน - กล่าวอีกอย่างคือคูณ 6 ใน 30 ตั๋วมี 5 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ดังนั้น:

#P (A "และ" B) = 5/30 = 1/6 #

กลับมาสู่สูตรดั้งเดิมของเราเราได้

#P (A "หรือ" B) = P (A) + P (B) -P (A "และ" B) #

#color (white) (P (A "หรือ" B)) = 15/30 + 10 / 30-5 / 30 #

#color (white) (P (A "หรือ" B)) = 20 / 30color (white) "XXXXXXXi" = 2/3 #.