คุณช่วยฉันได้มั้ย? int_0 ^ (PI / 2) (จ ^ (2x) * sinx) DX

ตอบ:

# = (2e ^ (PI) +1) / 5 #

คำอธิบาย:

สิ่งนี้ต้องการการรวมเป็นส่วน ๆ ดังนี้ ข้อ จำกัด จะถูกละเว้นจนกว่าจะถึงจุดสิ้นสุด

#int (จ ^ (2x) sinx) DX #

#COLOR (สีแดง) (I = INTU (DV) / (DX) DX) = UV-INTV (du) / (DV) DX #

# U = E ^ (2x) => du = 2e ^ (2x) DX #

# (DV) / (DX) = sinx => v = -cosx #

#COLOR (สีแดง) (I) = - e ^ (2x) cosx + int2e ^ (2x) cosxdx #

อินทิกรัลที่สองทำโดยชิ้นส่วน

# U = 2e ^ (2x) => du = 4e ^ (2x) DX #

# (DV) / (DX) = cosx => v = sinx #

#COLOR (สีแดง) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-int4e ^ (2x) sinxdx #

#COLOR (สีแดง) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-4color (สีแดง) (I) #

#:. 5I = E ^ (2x) (2sinx-cosx) #

# I = (E ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 #

ตอนนี้ใส่ข้อ จำกัด ใน

# ฉัน = (จ ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 _0 ^ (PI / 2) #

# = (E ^ ปี่ ((2sin (PI / 2) -cos (PI / 2))) / 5) - (จ ^ (0) (sin0-cos0) / 5) #

# 1 / 5e ^ pi 2-0 +1/5 -0 + 1 #

# = (2e ^ (PI) +1) / 5 #

ตอบ:

# {2e ^ ปี่ + 1} / 5 #

คำอธิบาย:

ในขณะที่คำตอบที่ให้ไว้นั้นสมบูรณ์แบบฉันแค่อยากจะชี้ให้เห็นวิธีที่ง่ายกว่าในการหาคำตอบเดียวกันโดยใช้วิธีการขั้นสูงกว่าเล็กน้อยนั่นคือผ่านตัวเลขที่ซับซ้อน

เราเริ่มต้นด้วยความสัมพันธ์ที่มีชื่อเสียง

# e ^ {ix} = cos (x) + i sin (x) #

ที่ไหน # i = sqrt {-1} #และโปรดทราบว่าสิ่งนี้หมายความว่า

#sin (x) = Im (e ^ {ix}) หมายถึง e ^ {2x} sin (x) = Im (e ^ {(2 + i} x)) #

ที่ไหน # อิ่ม # หมายถึงส่วนจินตภาพ

ดังนั้น

# int_0 ^ {pi / 2} e ^ {2x} บาป (x) dx = ฉัน (int_0 ^ {pi / 2} e ^ {(2 + i) x} dx) #

# = Im (e ^ {(2 + i) x} / {2 + i} | _0 ^ {pi / 2}) = Im ({e ^ pi e ^ {ipi / 2} -1} / {2+ ผม})#

# = Im ({ie ^ pi -1} / {2 + i} คูณ {2-i} / {2-i}) = 1/5 Im ((- 1 + ie ^ pi) (2-i)) #

# = 1/5 ((- 1) ครั้ง (-1) + e ^ pi คูณ 2) = {2e ^ pi + 1} / 5 #