Q.1 ถ้าอัลฟ่าเบต้าเป็นรากของสมการ x ^ 2-2x + 3 = 0 ได้รับสมการที่มีรากเป็นอัลฟ่า ^ 3-3 อัลฟา ^ 2 + 5 อัลฟา -2 และเบต้า ^ 3-เบต้า ^ 2 + เบต้า + 5?

# Q.1 # ถ้า # อัลฟ่าเบต้า # คือรากของสมการ # x ^ 2-2x + 3 = 0 # รับสมการที่มีราก # alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 # และ # เบต้า ^ 3 เบต้า ^ 2 + เบต้า + 5 #?

ตอบ

สมการ # x ^ 2-2x + 3 = 0 #

# => x = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i #

ปล่อย # alpha = 1 + sqrt2i และเบต้า = 1-sqrt2i #

ตอนนี้ขอ

# gamma = alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 #

# => gamma = alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 3 alpha -1 + 2alpha-1 #

# => = แกมมา (alpha-1) ^ 3 + alpha-1 + อัลฟา #

# => = แกมมา (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i #

# => แกมมา = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + 1 = sqrt2i #

และปล่อยให้

# เดลต้า = ^ 3 เบต้าเบต้า ^ 2 + เบต้า + 5 #

# => = เดลต้าเบต้า ^ 2 (เบต้า-1) + เบต้า + 5 #

# => เดลต้า = (1-sqrt2i) ^ 2 (-sqrt2i) + 1 + 5 sqrt2i #

# => เดลต้า = (- 1-2sqrt2i) (- sqrt2i) + 1 + 5 sqrt2i #

# => เดลต้า = sqrt2i-4 + 1 sqrt2i + 5 = 2 #

สมการกำลังสองมีราก #gamma และ delta # คือ

# x ^ 2- (แกมมาเดลต้า +) x + gammadelta = 0 #

# => x ^ 2- (1 + 2) x + 1 * 2 = 0 #

# => x ^ 2-3x + 2 = 0 #

# Q.2 # หากหนึ่งรากของสมการ # ขวาน ^ 2 + BX + C = 0 # เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสของอีกอัน

พิสูจน์ว่า # ข ^ 3 + a ^ 2 c + AC ^ 2 = 3abc #

ให้หนึ่งรากเป็น อัลฟา # # แล้วรากอื่นจะเป็น # อัลฟา ^ 2 #

ดังนั้น # อัลฟา ^ 2 + อัลฟา = -b / a #

และ

# อัลฟา ^ 3 = C / a #

# => อัลฟา ^ 3-1 = C / A-1 #

# => (alpha-1) (alpha ^ 2 + อัลฟา + 1) = C / A-1 = (c-A) / a #

# => (alpha-1) (- / b + 1) = (c-A) / a #

# => (alpha-1) ((a-ข) / a) = (c-A) / a #

# => (alpha-1) = (c-A) / (a-ข) #

# => อัลฟา = (c-A) / (a-ข) + 1 = (c-B) / (a-ข) #

ตอนนี้ #alpha # เป็นหนึ่งในรากของสมการกำลังสอง # ขวาน ^ 2 + BX + C = 0 # เราสามารถเขียน

# aalpha ^ 2 + balpha + C = 0 #

# => A ((c-B) / (a-ข)) ^ 2 + B ((c-B) / (a-ข)) + C = 0 #

# => a (c-B) ^ 2 + B (c-B) (a-ข) + C (a-ข) ^ 2 = 0 #

# => AC ^ 2-2abc + AB ^ 2 + abc-AB ^ 2-B ^ 2 c + B + ^ 3 ^ CA 2-2abc + B ^ 2 c = 0 #

# => ข ^ 3 + a ^ 2 c + AC ^ 2 = 3abc #

ได้รับการพิสูจน์

ทางเลือก

# aalpha ^ 2 + balpha + C = 0 #

# => aalpha + B + C / อัลฟา = 0 #

# => a (c / a) ^ (1/3) + B + C / ((c / a) ^ (1/3)) = 0 #

# => ค ^ (1/3) a ^ (2/3) + C ^ (2/3) a ^ (1/3) = - B #

# => (c ^ (1/3) a ^ (2/3) + C ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 = (- ข) ^ 3 #

# => (c ^ (1/3) a ^ (2/3)) ^ 3 + (c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 ^ + 3c (1/3) a ^ (2/3) xxc ^ (2/3) a ^ (1/3) (c ^ (1/3) a ^ (2/3) + C ^ (2/3) a ^ (1/3)) = (- ข) ^ 3 #

# => CA ^ 2 + C + ^ 2a 3CA (-b) = (- ข) ^ 3 #

# => ข ^ 3 + CA ^ 2 + C ^ = 2a 3abc #