คุณจะหาค่าที่แน่นอนของ cos 2pi / 5 ได้อย่างไร

ตอบ:

#cos (2pi / 5) = (- 1 + sqrt (5)) / 4 #

คำอธิบาย:

นี่คือทางออกที่หรูหราที่สุดที่ฉันพบใน:

math.stackexchange.com/questions/7695/how-to-prove-cos-frac2-pi-5-frac-1-sqrt54

#cos (4pi / 5) = cos (2pi-4pi / 5) = cos (6pi / 5) #

ดังนั้นถ้า # x = 2pi / 5 #:

#cos (2x) = cos (3x) #

การแทนที่ cos (2x) และ cos (3x) ด้วยสูตรทั่วไป:

#color (red) (cos (2x) = 2cos ^ 2x-1 และ cos (3x) = 4cos ^ 3x-3cosx) #, เราได้รับ:

# 2cos ^ 2x-1 = 4cos ^ 3x-3cosx #

การแทนที่ # cosx # โดย # Y #:

# 4Y ^ ^ 3-2y 2-3y-1 = 0 #

# (y-1) (4Y ^ 2 + 2y-1) = 0 #

เรารู้ว่า # y! = 1 #ดังนั้นเราต้องแก้ปัญหาสมการกำลังสอง:

# y = (- 2 + -sqrt (2 ^ 2-4 * 4 * (- 1))) / (2 * 4) #

# y = (- 2 + -sqrt (20)) / 8 #

ตั้งแต่ # y> 0 #, # การ y = cos (2pi / 5) = (- 1 + sqrt (5)) / 4 #