คะแนน extrema และ saddle ของ f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2) คืออะไร?

ตอบ:

#(0,0)# เป็นจุดอาน

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # และ # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # เป็นสูงสุดในท้องถิ่น

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # และ # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # เป็นท้องถิ่นน้อยที่สุด

# (0, pm 1 / sqrt 2) # และ # (น. 1 / sqrt 2,0) # เป็นจุดผันโรค

คำอธิบาย:

สำหรับฟังก์ชั่นทั่วไป #F (x, y) # ด้วยจุดหยุดนิ่งที่ # (x_0, y_0) # เรามีส่วนต่อขยายของซีรี่ส์

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots #

สำหรับฟังก์ชั่น

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

เรามี

# (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

มันง่ายที่จะเห็นว่าทั้งอนุพันธ์อันดับหนึ่งหายไปในวันรุ่งขึ้น

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (น. 1 / sqrt2, 0) #
• # (น. 1 / ตร. 2, น. 1 / ตร. 2) #

เพื่อตรวจสอบลักษณะของจุดคงที่เหล่านี้เราต้องดูพฤติกรรมของอนุพันธ์อันดับสองที่นั่น

ตอนนี้

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-Y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

และในทำนองเดียวกัน

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

และ

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-Y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

ดังนั้นสำหรับ #(0,0)# เรามี # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # และ # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - ด้วยเหตุนี้

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

หากคุณเข้าใกล้ #(0,0)# ตามแนว # x y = #สิ่งนี้กลายเป็น

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

และอื่น ๆ #(0,0)# อย่างน้อยถ้าคุณเข้าใกล้จากทิศทางนี้ ในทางกลับกันถ้าคุณเข้าใกล้เส้น # x = -y # เรามี

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

และอื่น ๆ #(0,0)# มากที่สุดตามทิศทางนี้

ดังนั้น #(0,0)# คือ จุดอาน.

สำหรับ # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # จะเห็นได้ง่ายว่า

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # และ # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

ซึ่งหมายความว่า

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

ดังนั้นฟังก์ชั่นจะลดลงตามที่คุณย้ายจาก # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # และนี่คือ สูงสุดในท้องถิ่น. จะเห็นได้ง่ายว่าจะไปเหมือนกัน # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (สิ่งนี้น่าจะชัดเจนเนื่องจากฟังก์ชันยังคงเหมือนเดิม # (x, y) ถึง (-x, -y) #!

อีกครั้งสำหรับทั้งสอง # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # และ # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # เรามี

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # และ # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

ดังนั้นจุดทั้งสองนี้เป็นจุดต่ำสุดของท้องถิ่น

จุดสี่จุด # (0, pm 1 / sqrt2) # และ # (น. 1 / sqrt2, 0) # มีปัญหามากกว่า - เนื่องจากอนุพันธ์ลำดับที่สองทั้งหมดหายไปที่จุดเหล่านี้ ตอนนี้เราต้องดูอนุพันธ์คำสั่งซื้อที่สูงขึ้น โชคดีที่เราไม่จำเป็นต้องทำงานหนักมากสำหรับสิ่งนี้ - อัตราผลตอบแทนต่อไปที่สูงมาก

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

ซึ่งไม่เป็นศูนย์สำหรับทั้งคู่ # (0, pm 1 / sqrt2) # และ # (น. 1 / sqrt2, 0) #. ตอนนี้หมายความว่าตัวอย่างเช่น

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

ซึ่งแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้จะเพิ่มขึ้นจาก # f (0,1 / sqrt 2) # ในทิศทางหนึ่งและลดลงจากอีกด้านหนึ่ง ดังนั้น # (0,1 / sqrt2) # เป็นจุดเบี่ยงเบน ** อาร์กิวเมนต์เดียวกันนี้ใช้งานได้กับอีกสามจุด