คะแนน extrema และ saddle ของ f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 คืออะไร

ตอบ:

# {: ("จุดวิกฤติ", "สรุป"), ((0,0), "ขั้นต่ำ"), ((-1, -2), "อาน"), ((-1,2), "อาน "), ((-5 / 3,0)," max "):} #

คำอธิบาย:

ทฤษฎีเพื่อระบุ extrema ของ # Z = f (x, y) # คือ:

แก้สมการวิกฤตพร้อมกัน

# (บางส่วน f) / (บางส่วน x) = (บางส่วน f) / (บางส่วน y) = 0 # (เช่น # z_x = z_y = 0 #)
ประเมินผล #f_ (x x), f_ (yy) และ f_ (xy) (= f_ (yx)) # ที่จุดวิกฤติแต่ละจุด ดังนั้นการประเมิน # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # ที่แต่ละจุดเหล่านี้
กำหนดลักษณะของ extrema;

# {: (เดลต้า> 0, "มีขั้นต่ำถ้า" f_ (xx) <0), (, "และสูงสุดหาก" f_ (yy)> 0), (เดลต้า <0, "มีจุดอาน"), (Delta = 0, "จำเป็นต้องทำการวิเคราะห์เพิ่มเติม"):} #

ดังนั้นเราจึงมี:

# f (x, y) = 2x2 ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

ให้เราหาอนุพันธ์ย่อยส่วนแรก:

# (บางส่วน f) / (บางส่วน x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (บางส่วน f) / (บางส่วน y) = 2xy + 2y #

ดังนั้นสมการที่สำคัญของเราคือ:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

จากสมการที่สองเรามี:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

ผู้ใต้บังคับบัญชา # x = -1 # เข้าสู่สมการแรกและเราได้:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

ผู้ใต้บังคับบัญชา # การ y = 0 # เข้าสู่สมการแรกและเราได้:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

และเราก็มี สี่ จุดวิกฤติพร้อมพิกัด

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

ตอนนี้ให้เราดูอนุพันธ์ย่อยส่วนที่สองเพื่อให้เราสามารถกำหนดลักษณะของจุดวิกฤต:

# (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน x ^ 2) = 12x + 10 #

# (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน y ^ 2) = 2x + 2 #

# (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน x บางส่วน y) = 2y (= (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน y บางส่วน x)) #

และเราต้องคำนวณ:

# Delta = (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน x ^ 2) (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน y ^ 2) - ((บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน x บางส่วน y)) ^ 2 #

ในแต่ละจุดวิกฤติ ค่าอนุพันธ์อันดับสองบางส่วน # # เดลต้าและข้อสรุปมีดังนี้:

# {: ("จุดวิกฤติ", (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน x ^ 2), (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน ^ ^ 2), (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน x บางส่วน y), Delta, "สรุป"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "ขั้นต่ำ"), ((-1, -2), - 2,0,4, lt 0, "saddle"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "saddle"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #

เราสามารถดูจุดวิกฤติเหล่านี้ได้หากเราดูพล็อต 3D: