คุณจะหาปริมาตรของของแข็งที่เกิดจากการหมุนภาคที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) หมุนรอบ ๆ y = 4 ได้อย่างไร

ตอบ:

# V = 685 / 32pi # หน่วยลูกบาศก์

คำอธิบาย:

ขั้นแรกให้วาดกราฟ

# y_1 = x ^ 2-x #

# y_2 = 3 x ^ 2 #

# x #-intercept

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # และเรามีสิ่งนั้น # {(x = 0), (x = 1):} #

ดังนั้นสิ่งสกัดกั้นคือ #(0,0)# และ #(1,0)#

รับจุดสุดยอด:

# y_1 = x ^ 2 x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

ดังนั้นจุดยอดจึงอยู่ที่ #(1/2,-1/4)#

ทำซ้ำก่อนหน้านี้:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # และเรามีสิ่งนั้น # {(x = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

ดังนั้นสิ่งสกัดกั้นคือ # (sqrt (3), 0) # และ # (- sqrt (3), 0) #

# y_2 = 3 x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

ดังนั้นจุดยอดจึงอยู่ที่ #(0,3)#

ผล:

วิธีรับปริมาณ เราจะใช้ วิธีการใช้ดิสก์!

วิธีนี้เป็นเพียง: # "ปริมาณ" = piint_a ^ ^ โดย 2DX #

ความคิดนั้นง่าย แต่คุณต้องใช้มันอย่างฉลาด

และนั่นคือสิ่งที่เรากำลังจะทำ

ให้โทรไปที่ปริมาณของเรา # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ ข (4 y_1) ^ 2DX #

# V_2 = piint_a ^ ข (4 y_2) ^ 2DX #

หมายเหตุ: ฉันกำลังพูด # (4-y) # เพราะ # Y # เป็นเพียงระยะทางจาก # x #- แกนไปยังส่วนโค้งในขณะที่เราต้องการระยะทางจากเส้น # การ y = 4 # กับเส้นโค้ง!

ตอนนี้ไปหา # A # และ # B #เราถือเอา # y_1 # และ # y_2 # แล้วแก้หา # x #

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1.5), (x = -1):} #

ตั้งแต่ # A # มาก่อน # B #, # => a = -1 # และ # B = 1.5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1.5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1.5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (x ^ 2 + x-4) ^ 2DX #

# => piint (-1) ^ (1.5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) DX = pi x ^ 05/05 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

ทำเช่นเดียวกันสำหรับ # V_2 #:

# V_2 = piint_-1 ^ 1.5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1.5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (1 + x-4) ^ 2DX #

# => piint (-1) ^ (1.5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) DX = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- ^ 1 # 1.5

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = สี (สีฟ้า) ((685pi) / 32) #