ให้ vec (x) เป็นเวกเตอร์เช่น vec (x) = ((1, 1), "และให้" R (θ) = [(costheta, -sintheta), (sintheta, costheta)] นั่นคือการหมุน ผู้ประกอบการ สำหรับ theta = 3 / 4pi หา vec (y) = R (theta) vec (x)? ทำสเก็ตช์ที่แสดง x, y และθ?

นี่เป็นการหมุนทวนเข็มนาฬิกา คุณสามารถเดาได้กี่องศา?

ปล่อย #T: RR ^ 2 | -> RR ^ 2 # เป็นการแปลงเชิงเส้นตรงไหน

#T (vecx) = R (theta) vecx, #

#R (theta) = (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta), #

#vecx = << -1,1 >>. #

โปรดทราบว่าการเปลี่ยนแปลงนี้ถูกแสดงว่าเป็น เมทริกซ์การแปลง #R (theta) #.

มันหมายถึงอะไรตั้งแต่ # R # คือเมทริกซ์การหมุนซึ่งแสดงถึงการแปลงแบบหมุนเราสามารถคูณได้ # R # โดย # vecx # เพื่อให้บรรลุการเปลี่ยนแปลงครั้งนี้

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx << -1,1 >> #

สำหรับ # MxxK # และ # KxxN # เมทริกซ์ผลลัพธ์คือ #COLOR (สีเขียว) (MxxN) # เมทริกซ์ที่ไหน # M # คือ แถว มิติและ # N # คือ คอลัมน์ มิติ. นั่นคือ:

# (y_ (11), y_ (12),.., y_ (1n)), (y_ (21), y_ (22),…., y_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (y_ (m1), y_ (m2),.., y_ (mn)) #

# = (R_ (11), R_ (12),.., R_ (1k)), (R_ (21), R_ (22),…., R_ (2k)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (R_ (m1), R_ (m2),.., R_ (mk)) xx (x_ (11), x_ (12),…, x_ (1n)), (x_ (21), x_ (22),.., x_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (x_ (k1), x_ (k2),…, x_ (kn)) #

ดังนั้นสำหรับ # 2xx2 # เมทริกซ์คูณด้วย a # 1xx2 #เราต้องแปลงเวกเตอร์เพื่อให้ได้ a # 2xx1 # คอลัมน์เวกเตอร์ให้คำตอบที่เป็น # mathbf (2xx1) # เวกเตอร์คอลัมน์.

การคูณทั้งสองให้:

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx (- 1) (1) #

# = (-costheta - sintheta), (- sintheta + costheta) #

ต่อไปเราสามารถเสียบ #theta = (3pi) / 4 # (ซึ่งฉันสมมติว่าเป็นมุมที่ถูกต้อง) ที่จะได้รับ:

#color (สีน้ำเงิน) (T (vecx) = R (theta) vecx) #

# = R (theta) (- 1), (1) #

# = (-cos ((3pi) / 4) - sin ((3pi) / 4)), (- sin ((3pi) / 4) + cos ((3pi) / 4)) #

# = (-cos135 ^ @ - sin135 ^ @), (- sin135 ^ @ + cos135 ^ @) #

# = (- (- - sqrt2 / 2) - sqrt2 / 2), (- sqrt2 / 2 + (-sqrt2 / 2)) #

# = สี (สีน้ำเงิน) ((0), (- sqrt2)) #

ทีนี้ลองวาดกราฟนี้ดูว่ามันมีหน้าตาเป็นอย่างไร ฉันสามารถบอกได้ว่ามันเป็น หมุนทวนเข็มนาฬิกาหลังจากกำหนดเวกเตอร์ที่แปลงแล้ว

อันที่จริงแล้วทวนเข็มนาฬิกาหมุนโดย #135^@#.

ความท้าทาย: บางทีคุณอาจพิจารณาว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อเมทริกซ์นั้นเป็น # (costheta, sintheta), (- sintheta, costheta) # แทน. คุณคิดว่ามันจะตามเข็มนาฬิกาหรือไม่?