ได้มาทางรากของสี (สีขาว) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

ตอบ:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # สำหรับ #n = 0, 1, 2 #

คำอธิบาย:

ได้รับ:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

การทดแทนตรีโกณมิติ

เนื่องจากลูกบาศก์นี้มี #3# เลขศูนย์จริงวิธีการของ Cardano จะส่งผลให้เกิดนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับรากลูกบาศก์ลดลงของจำนวนเชิงซ้อน วิธีการของ Cardano นั้นไม่ผิด แต่ก็ไม่เป็นมิตรมากนักเว้นแต่ว่ารากของคิวบ์จะมีรูปแบบที่เรียบง่าย

เป็นทางเลือกในกรณีเช่นนี้ฉันจะเลือกใช้การแทนที่ตรีโกณมิติ

ปล่อย:

#x = k cos theta #

เคล็ดลับคือการเลือก # k # เช่นนั้นการแสดงออกที่เกิดขึ้นมี # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

เรามี:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (white) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 3k cos theta - 1 #

#color (white) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (white) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "" # กับ # k = 2 #

#color (white) (0) = 2cos 3theta - 1 #

ดังนั้น:

#cos 3 theta = 1/2 #

ดังนั้น:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ # n #

ดังนั้น:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ # n #

นี้จะให้ #3# ค่าที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันของ #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # สำหรับ #n = 0, 1, 2 #.