เรามี x @ y = ax + ay-xy, x, y ใน RR และ a เป็นพารามิเตอร์จริง ค่า a ซึ่ง [0,1] เป็นส่วนที่เสถียรของ (RR, @) หรือไม่

ตอบ:

#a ใน 1/2, 1 # หรือ #a = 1 # ถ้าเราต้องการ #@# แผนที่ # 0, 1 xx 0, 1 # ไปยัง #0, 1#.

คำอธิบาย:

ได้รับ:

#x @ y = ax + ay-xy #

หากฉันเข้าใจคำถามอย่างถูกต้องเราต้องการกำหนดค่าของ # A # ซึ่ง:

#x, y ใน 0, 1 rarr x @ y ใน 0, 1 #

เราพบ:

# 1 @ 1 = 2a-1 ใน 0, 1 #

ด้วยเหตุนี้ #a ใน 1/2, 1 #

โปรดทราบว่า:

# del / (del x) x @ y = a-y "" # และ # "" del / (del y) x @ y = a-x #

ดังนั้นค่าสูงสุดและ / หรือต่ำสุดของ #x @ y # เมื่อ #x, y ใน 0, 1 # จะเกิดขึ้นเมื่อ #x, y ใน {0, a, 1} #

สมมติ #a ใน 1/2, 1 #

เราพบ:

# 0 @ 0 = 0 ใน 0, 1 #

# 0 @ a = a @ 0 = a ^ 2 ใน 0, 1 #

# 0 @ 1 = 1 @ 0 = a ใน 0, 1 #

#a @ a = a ^ 2 ใน 0, 1 #

#a @ 1 = 1 @ a = a ^ 2 ใน 0, 1 #

# 1 @ 1 = 2a-1 ใน 0, 1 #

ดังนั้นเงื่อนไขที่กำหนดจึงมีความจำเป็นและเพียงพอ

นอกจากนี้ถ้าเราต้องการ #x @ y # ที่จะเข้าสู่ #0, 1# แล้วเราต้องการ # A = 1 #.