ตอบ:
#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.
คำอธิบาย:
รูปแบบทั่วไปของการขยายตัวของเทย์เลอร์มีศูนย์กลางที่ # A # ของฟังก์ชั่นการวิเคราะห์ # F # คือ # f (x) = sum_ {n = 0} ^ ^ OOF ((n)) (ก) / (n!) (x-A) ^ n #. ที่นี่ # f ^ ((n)) # คืออนุพันธ์อันดับที่ n ของ # F #.
ระดับที่สามเทย์เลอร์พหุนามเป็นพหุนามประกอบด้วยสี่คนแรก (# n # ตั้งแต่ #0# ไปยัง #3#) ข้อกำหนดของการขยายเทย์เลอร์เต็ม
ดังนั้นพหุนามนี้คือ # f (ก) + F '(ก) (x-A) + (ฉ' '(ก)) / 2 (x-A) ^ 2 + (ฉ' '' (ก)) / 6 (x-A) ^ 3 #.
# f (x) = LN (x) #ดังนั้น # f (x) = 1 / x #, # f '' (x) = - 1 / x ^ 2 #, # f '' '(x) = 2 / x ^ 3 #. ดังนั้นพหุนามดีกรีอันดับสามคือ:
#ln (ก) + 1 / a (x-A) -1 / (2a ^ 2) (x-A) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3) (x-A) ^ 3 #.
ตอนนี้เรามี A = # 2 #ดังนั้นเราจึงมีพหุนาม:
#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.
