ค่าของคืออะไร? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

ตอบ:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

คำอธิบาย:

เราแสวงหา:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

ทั้งตัวเศษและส่วน 2 #rarr 0 # เช่น #x rarr 0 #. ดังนั้นขีด จำกัด # L # (ถ้ามี) เป็นรูปแบบที่ไม่แน่นอน #0/0#และด้วยเหตุนี้เราสามารถใช้กฎของL'Hôitalเพื่อรับ:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

ตอนนี้ใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

และ,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

และอื่น ๆ:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

นี่เป็นรูปแบบที่ไม่แน่นอน #0/0#และดังนั้นเราสามารถใช้กฎของL'Hôpitalอีกครั้งเพื่อรับ:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

ซึ่งเราสามารถประเมิน:

# L = (0) / (2-0) = 0 #