ให้ S เป็นหน่วยพื้นที่กำลังสอง พิจารณารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนใด ๆ ที่มีจุดยอดหนึ่งจุดในแต่ละด้านของ S ถ้า a, b, c และ d แสดงถึงความยาวของด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมสามเหลี่ยมพิสูจน์ว่า 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

ปล่อย #เอบีซีดี# เป็นตารางหน่วยของพื้นที่

ดังนั้น # AB = BC = CD = DA = 1 # หน่วย

ปล่อย # PQRS # เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีจุดสุดยอดหนึ่งด้านของจัตุรัส ที่นี่ขอ # PQ = b, c = QR อาร์เอส = = a dandSP #

การประยุกต์ใช้ Pythagoras นั้นเราสามารถเขียนได้

# a ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2 + d ^ 2 #

# = x ^ 2 + Y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-W) ^ 2 + W ^ 2 + (1-z) ^ 2 + Z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2 + W ^ 2-x-Y-z-W) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2 + W ^ 2-x-Y-z-W) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (Z-1/2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2) #

ตอนนี้จากปัญหาที่เรามี

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

ด้วยเหตุนี้

# 2 <= a ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #