เรามีวงกลมที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกจารึกไว้และวงกลมที่ถูกจารึกไว้พร้อมกับสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ถูกจารึกไว้ เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมด้านนอกคือ 8 ฟุต วัสดุรูปสามเหลี่ยมมีราคา $ 104.95 ต่อตารางฟุต ค่าใช้จ่ายของศูนย์สามเหลี่ยมคืออะไร?

ตอบ:

ค่าใช้จ่ายของศูนย์สามเหลี่ยมคือ $ 1,090.67

คำอธิบาย:

#AC = 8 # เป็นเส้นผ่าศูนย์กลางที่กำหนดของวงกลม

ดังนั้นจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว #Delta ABC #, #AB = 8 / sqrt (2) #

จากนั้นตั้งแต่ #GE = 1/2 AB #, #GE = 4 / sqrt (2) #

เห็นได้ชัดว่าสามเหลี่ยม #Delta GHI # เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

จุด # E # เป็นศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ #Delta GHI # และเช่นนี้เป็นจุดศูนย์กลางของจุดตัดของค่ามัธยฐานความสูงและเส้นแบ่งครึ่งมุมของสามเหลี่ยมนี้

เป็นที่ทราบกันว่าจุดตัดของมัธยฐานแบ่งมีเดียนเหล่านี้ในอัตราส่วน 2: 1 (เพื่อพิสูจน์ดู Unizor และติดตามลิงก์ เรขาคณิต - เส้นขนาน - Mini Theorems 2 - Teorem 8)

ดังนั้น, # GE # คือ #2/3# ของค่ามัธยฐานทั้งหมด (และระดับความสูงและเส้นแบ่งมุม) ของรูปสามเหลี่ยม #Delta GHI #.

ดังนั้นเรารู้ระดับความสูง # H # ของ #Delta GHI #มันเท่ากับ #3/2# คูณด้วยความยาวของ # GE #:

#h = 3/2 * 4 / sqrt (2) = 6 / sqrt (2) #

รู้ดี # H #เราสามารถคำนวณความยาวของด้านข้างได้ # A # ของ #Delta GHI # ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

# (ก / 2) ^ 2 + H ^ 2 = a ^ 2 #

จากที่ดังต่อไปนี้:

# 4h ^ 2 = 3a ^ 2 #

# A = (2H) / sqrt (3) #

ตอนนี้เราสามารถคำนวณ # A #:

#a = (2 * 6) / (sqrt (2) * sqrt (3)) = 2sqrt (6) #

ดังนั้นพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจึงเป็น

#S = 1 / 2ah = 1/2 * 2sqrt (6) * 6 / sqrt (2) = 6sqrt (3) #

ในราคา $ 104.95 ต่อตารางฟุตราคาของรูปสามเหลี่ยมคือ

#P = 104.95 * 6sqrt (3) ~~ 1090.67 #