ประเมินอินทิกรัลไม่ จำกัด : sqrt (10x x ^ 2) dx?

ตอบ:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + C #

คำอธิบาย:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

ทำตารางให้สมบูรณ์

#int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

แทน # U = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

แทน # U = 5sin (V) # และ # du = 5cos (V) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

ลดความซับซ้อน

#int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

ปรับแต่ง, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

นำออกมาคงที่

# 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

ใช้สูตรมุมสองด้าน

# 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

นำออกมาคงที่

# 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

บูรณาการ

# 25/2 (V + 1 / 2sin (2V)) "+ C #

ทดแทนกลับ # v = arcsin (u / 5) # และ # U = x-5 #

# 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + ยกเลิก (1 / 2sin) (ยกเลิก (2arcsin) ((x-5) / 5))) "+ C #

ลดความซับซ้อน

# 25/2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + C #

ปรับแต่ง, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + C #ที่ไหน c # # คือค่าคงที่ของการรวมกลุ่ม

Tadaa: D

ตอบ:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20)))) 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

คำอธิบาย:

คืออะไร #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

โปรดทราบว่าโดเมนของฟังก์ชันที่รวมเข้าด้วยกันคือตำแหน่งที่กำลังสองด้านในเป็นค่าบวกนั่นคือ #x ใน 0, 10 #

นิพจน์นี้สามารถรวมเข้าด้วยกันโดยใช้การแทนที่ แม้ว่าทางเดินที่เป็นไปได้สำหรับการรวมกันนั้นไม่ได้นำเสนอตัวเองทันทีหากเราแข่งขันกับสแควร์ก็สามารถดำเนินการแทนตรีโกณมิติได้:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

ซึ่งเราสังเกตเห็นว่าอยู่ในรูปแบบการแทนตรีโกณมิติแบบคลาสสิกเช่นสี่เหลี่ยมจัตุรัสของจำนวนลบตารางของเส้นตรง # x # ฟังก์ชัน

ก่อนอื่นเราต้องกำจัดเส้นตรง #u = x-5 #, ซึ่งจะช่วยให้ # du = DX #ดังนั้นเราสามารถเขียนอินทิกรัลด้านบนเป็น:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

ตอนนี้สำหรับการทดแทนครั้งที่สองให้ #u = 5sintheta #ซึ่งเปลี่ยนอินทิกรัลเป็น:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = abs ภายใน (5costheta) dx # (เราสามารถละเว้นวงเล็บค่าสัมบูรณ์)

แน่นอนว่า # DX # ไม่ได้ช่วยอะไรเราจึงแยกความแตกต่างของสมการการได้มา: #du = 5costheta d theta #ดังนั้นอินทิกรัลจึงกลายเป็น:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

ตอนนี้เราสามารถใช้สูตรสองมุมเพื่อทำการรวมเข้าด้วยกัน # cos ^ 2 theta # ง่ายขึ้น:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (เพราะ (2theta) +1) #

ดังนั้นอินทิกรัลจึงกลายเป็น:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (ใช้สูตรสองมุม)

ตอนนี้ #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

ดังนั้น #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

และ, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20)))) 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #