คำถาม # ba262

ตอบ:

หลักฐานนั้นยาวไปหน่อย แต่สามารถจัดการได้ ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

เมื่อพยายามที่จะพิสูจน์เอกลักษณ์ของตรีโกณมิติที่เกี่ยวข้องกับเศษส่วนคุณควรเพิ่มเศษส่วนก่อนเสมอ:

# Sint / (1-ค่าใช้จ่าย) + (1 + ค่าใช้จ่าย) / Sint = (2 (1 + ค่าใช้จ่าย)) / Sint #

# -> Sint / (1-ค่าใช้จ่าย) Sint / Sint + (1 + ค่าใช้จ่าย) / ซินต์ (1 ค่าใช้จ่าย) / (1-ค่าใช้จ่าย) = (2 (1 + ค่าใช้จ่าย)) / Sint #

# -> บาป ^ 2t / ((1 ค่าใช้จ่าย) (Sint)) + ((1 + ค่าใช้จ่าย) (1 ค่าใช้จ่าย)) / ((1 ค่าใช้จ่าย) (Sint)) = (2 (1 + ค่าใช้จ่าย)) / Sint #

# -> (บาป ^ 2t + (1 + ค่าใช้จ่าย) (1 ค่าใช้จ่าย)) / ((1 ค่าใช้จ่าย) (Sint)) = (2 (1 + ค่าใช้จ่าย)) / Sint #

การแสดงออก # (ต้นทุน 1 +) (1 ค่าใช้จ่าย) # จริงๆแล้วความแตกต่างของกำลังสองในการปลอมตัว:

# (A + B) (a-ข) = a ^ 2-B ^ 2 #

กับ # A = 1 # และ # B = ค่าใช้จ่าย #. มันประเมินว่า # (1) ^ 2- (ค่าใช้จ่าย) ^ 2 = 1-cos ^ 2t #.

เราสามารถไปได้ไกลกว่าด้วย # 1 cos ^ 2t #. จำอัตลักษณ์พีทาโกรัสพื้นฐานได้:

# cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

ลบ # cos ^ 2x # จากทั้งสองด้านเราเห็น:

# บาป ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

ตั้งแต่ # x # เป็นเพียงตัวยึดตำแหน่งเราสามารถพูดได้ว่า # บาป ^ 2t = 1-cos ^ 2t #. ดังนั้นการ # (ต้นทุน 1 +) (1 ค่าใช้จ่าย) # กลายเป็น # บาป ^ 2t #:

# (บาป ^ 2t + sin ^ 2t) / ((1 ค่าใช้จ่าย) (Sint)) = (2 (1 + ค่าใช้จ่าย)) / Sint #

# -> (2sin ^ 2t) / ((1 ค่าใช้จ่าย) (Sint)) = (2 (1 + ค่าใช้จ่าย)) / Sint #

โปรดทราบว่า sines ยกเลิก:

# (2cancel (บาป ^ 2t) ^ Sint) / ((1 ค่าใช้จ่าย) ยกเลิก ((Sint))) = (2 (1 + ค่าใช้จ่าย)) / Sint #

# -> (2sint) / (1-ค่าใช้จ่าย) = (2 (1 + ค่าใช้จ่าย)) / Sint #

เราเกือบเสร็จแล้ว ขั้นตอนสุดท้ายคือการคูณทางซ้ายโดยคอนจูเกตของ # 1 # ค่าใช้จ่าย (ซึ่งเป็น # 1 ค่าใช้จ่าย + #) เพื่อใช้ประโยชน์จากความแตกต่างของคุณสมบัติสี่เหลี่ยม:

# (2sint) / (1 ต้นทุน) (1 + ค่าใช้จ่าย) / (1 + ค่าใช้จ่าย) = (2 (1 + ค่าใช้จ่าย)) / Sint #

# -> (2sint (1 + ค่าใช้จ่าย)) / ((1 ต้นทุน) (1 + ค่าใช้จ่าย)) = (2 (1 + ค่าใช้จ่าย)) / Sint #

อีกครั้งเราจะเห็นว่า # (1 ต้นทุน) (1 + ค่าใช้จ่าย) # เป็นความแตกต่างของกำลังสองด้วย # A = 1 # และ # B = ค่าใช้จ่าย #. มันประเมินว่า # (1) ^ 2- (ค่าใช้จ่าย) ^ 2 #, หรือ # 1 cos ^ 2t #. เราแสดงให้เห็นแล้วว่า # บาป ^ 2t = 1-cos ^ 2t #ดังนั้นตัวหารจะถูกแทนที่:

# (2sint (1 + ค่าใช้จ่าย)) / (บาป ^ 2t) = (2 (1 + ค่าใช้จ่าย)) / Sint #

Sines ยกเลิก:

# (2cancel (Sint) (1 + ค่าใช้จ่าย)) / (ยกเลิก (บาป ^ 2t) ^ Sint) = (2 (1 + ค่าใช้จ่าย)) / Sint #

และ voila หลักฐานที่สมบูรณ์:

# (2 (1 + ค่าใช้จ่าย)) / Sint = (2 (1 + ค่าใช้จ่าย)) / Sint #

ตอบ:

ให้ฉันพยายาม

คำอธิบาย:

# LHS = Sint / (1-ค่าใช้จ่าย) + (1 + ค่าใช้จ่าย) / Sint #

ตรวจสอบ RHS ที่เราทำร่วมกัน# (1 + ค่าใช้จ่าย) / Sint #

ดังนั้น

# LHS = (1 + ค่าใช้จ่าย) / Sint (Sint / (1 + ค่าใช้จ่าย) * Sint / (1-ค่าใช้จ่าย) +1) #

# = (1 + ค่าใช้จ่าย) / Sint (บาป ^ 2t / (1-cos ^ 2t) +1) #

# = (1 + ค่าใช้จ่าย) / Sint (บาป ^ 2t / บาป ^ 2t + 1) #

# = (1 + ค่าใช้จ่าย) / ซินต์ (1 + 1) #

# = (2 (1 + ค่าใช้จ่าย)) / Sint = RHS #

ได้รับการพิสูจน์