พิสูจน์ว่าพื้นที่แรเงาสีม่วงเท่ากับพื้นที่ของ incircle ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (วงกลมสีเหลือง)?

ตอบ:

คำอธิบาย:

พื้นที่ของ incircle คือ # pir ^ 2 #.

สังเกตสามเหลี่ยมมุมฉากด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก # R # และขา # R # ที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า, ผ่านตรีโกณมิติหรือคุณสมบัติของ #30 -60 -90 # สามเหลี่ยมมุมฉากเราสามารถสร้างความสัมพันธ์ได้ # R = 2r #.

โปรดทราบว่ามุมตรงข้าม # R # คือ #30 # ตั้งแต่สามเหลี่ยมด้านเท่า #60 # มุมถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน

สามเหลี่ยมเดียวกันนี้สามารถแก้ไขได้ผ่านทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อแสดงให้เห็นว่าครึ่งความยาวด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าคือ #sqrt (R ^ 2-R ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-R ^ 2) = rsqrt3 #.

ตอนนี้ตรวจสอบครึ่งหนึ่งของสามเหลี่ยมด้านเท่าว่าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเราจะเห็นความสูงนั้น # H # ของสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถแก้ไขได้ในรูปของ # R # ใช้ความสัมพันธ์ #tan (60) = H / (rsqrt3) #. ตั้งแต่ #tan (60) = sqrt3 #สิ่งนี้กลายเป็น # H / (rsqrt3) = sqrt3 # ดังนั้น # H = 3r #.

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่านั้น # 1 / 2bh #และฐานของมันคือ # 2rsqrt3 # และความสูงของมัน # 3r #. ดังนั้นพื้นที่ของมันคือ # 2/1 (2rsqrt3) (3r) = ^ 3r 2sqrt3 #.

พื้นที่ของพื้นที่แรเงาขนาดเล็กเท่ากับหนึ่งในสามพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าลบด้วย incircle หรือ # 3/1 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # ซึ่งเทียบเท่ากับ # R ^ 2 ((3sqrt3-PI) / 3) #.

พื้นที่ของวงกลมที่ใหญ่กว่าคือ # PIR ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

พื้นที่ของพื้นที่แรเงาขนาดใหญ่คือหนึ่งในสามของพื้นที่วงกลมที่ใหญ่กว่าลบพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า # 3/1 (4pir ^ ^ 2-3r 2sqrt3) # ซึ่งลดความซับซ้อนของการเป็น # R ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

รวมพื้นที่ทั้งหมดของพื้นที่แรเงาแล้ว # R ^ 2 ((3sqrt3-PI) / 3) + R ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) r = ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-ปี่ + 4pi) / 3) r = ^ 2 ((3pi) / 3) = pir ^ 2 #ซึ่งเทียบเท่ากับพื้นที่ของวงกลม

ตอบ:

คำอธิบาย:

สำหรับรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จุดศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วง, จุดศูนย์กลางของวงกลมรอบและจุดตรงศูนย์ orthocenter.

ดังนั้นรัศมีของ cicumcircle (R) และรัศมีของ incircle (r) จะมีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

ตอนนี้จากรูปก็เห็นได้ชัดว่า พื้นที่ของพื้นที่แรเงาสีม่วงขนาดใหญ่# = 3/1 (PIR ^ 2-Delta) #

และ พื้นที่ของพื้นที่แรเงาสีม่วงขนาดเล็ก# = 3/1 (Delta-pir ^ 2) #

ที่ไหน #Delta # แสดงถึงพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

ดังนั้น

#color (สีม่วง) ("พื้นที่ทั้งหมดของพื้นที่แรเงาสีม่วงขนาดใหญ่และขนาดเล็ก" #

# = 3/1 (PIR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 3/1 (PIR ^ 2 + cancelDelta cancelDelta-pir ^ 2) #

การแทรก R = 2r

# = 3/1 (PI (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 3/1 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> color (orange) "พื้นที่ของวงกลมสีเหลือง" #