พื้นที่สูงสุดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นรอบวงของ 116m คืออะไร?

ตอบ:

พื้นที่, #A = 841 "m" ^ 2 #

คำอธิบาย:

ให้ L = ความยาว

ให้ W = ความกว้าง

ปริมณฑล #P = 2L + 2W #

ได้รับ: #P = 116 "m" #

# 2L + 2W = 116 "m" #

แก้หา W ในรูปของ L:

#W = 58 "m" - L "1" #

พื้นที่, #A = LW "2" #

แทนด้านขวาของสมการ 1 สำหรับ W ให้เป็นสมการ 2:

#A = L (58 "m" - L) #

#A = -L ^ 2 + (58 "m") L #

ในการรับค่า L ที่เพิ่มพื้นที่ให้ใหญ่ที่สุดให้คำนวณหาอนุพันธ์อันดับแรกเทียบกับ L ตั้งค่าเป็น 0 และแก้หา L:

อนุพันธ์แรก:

# (dA) / (dL) = -2L + 58 "m" #

ตั้งค่าเป็น 0:

# 0 = -2L + 58 "m" #

#L = 29 "m" #

ใช้สมการ 1 เพื่อค้นหาค่า W:

#W = 58 "m" - 29 "m" #

#W = 29 "m" #

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่สร้างพื้นที่สูงสุดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่คือ:

#A = (29 "m") ^ 2 #

#A = 841 "m" ^ 2 #

ตอบ:

# 841m ^ 2 #.

คำอธิบาย:

เราจะแก้ปัญหานี้โดยใช้ วิธีพีชคณิต ในฐานะที่เป็น

ทางออกที่สอง เราจะแก้มันโดยใช้ แคลคูลัส

ปล่อย #l และ w # เป็นความยาวและความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

จากนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า# = LW. #

จากนั้นตามที่ได้รับ # 2 (l + w) = 116 หรือ, (l + w) / 2 = 29 #.

ที่นี่เราใช้สิ่งต่อไปนี้ ความไม่เท่าเทียมกันของ AGH ของจริง:

ถ้า A, G และ H คือ เลขคณิตเรขาคณิตและฮาร์มอนิกหมายถึง

ของ # a, b ใน RR ^ + uu {0} "resp.," A> = G> = H. #

# "ที่นี่" A = (a + b) / 2, G = sqrt (ab), &, H = (2ab) / (a + b) #

ดังนั้น # (l + w) / 2> = sqrt (lw) หรือ ((l + w) / 2) ^ 2> = lb #

ซึ่งหมายความว่า # "the Area =" lb <= (29) ^ 2 #

ดังนั้น สูงสุด พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า# = 841m ^ 2 #.