ให้ G เป็นกลุ่มวงจรและ G = 48 คุณจะหากลุ่มย่อยทั้งหมดของ G ได้อย่างไร

ตอบ:

กลุ่มย่อยเป็นวงจรทั้งหมดโดยมีการหารคำสั่งซื้อ #48#

คำอธิบาย:

กลุ่มย่อยทั้งหมดของกลุ่มวงจรเป็นตัวเองวงจรด้วยคำสั่งที่เป็นตัวหารของคำสั่งของกลุ่ม

เพื่อดูว่าทำไมสมมติ # G = <a> # เป็นวงกลมกับการสั่งซื้อ # N # และ #H sube G # เป็นกลุ่มย่อย

ถ้า # a ^ m ใน H # และ # a ^ n ใน H #ก็เช่นกัน # a ^ (น + qn) # สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ #p, q #.

ดังนั้น # a ^ k ใน H # ที่ไหน #k = GCF (m, n) # และทั้งคู่ # a ^ เมตร # และ # a ^ n # อยู่ใน # <a ^ k> #.

โดยเฉพาะถ้า # a ^ k ใน H # กับ #GCF (k, N) = 1 # แล้วก็ #H = <a> = G #.

ยังไม่ว่าถ้า #mn = N # แล้วก็ # <a ^ m> # เป็นกลุ่มย่อยของ # G # กับการสั่งซื้อ # n #.

เราสามารถอนุมาน:

• # H # มีไม่เกิน #1# เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
• คำสั่งของ # H # เป็นปัจจัยของ # N #.

ในตัวอย่างของเรา #N = 48 # และกลุ่มย่อย isomorphic ไปที่:

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

เป็น:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #