สูตรทางคณิตศาสตร์สำหรับการคำนวณความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องคืออะไร

ตอบ:

ปล่อย #mu_ {X} = E X = sum_ {i = 1} ^ {infty} x_ {i} * p_ {i} # เป็นค่าเฉลี่ย (ค่าที่คาดหวัง) ของตัวแปรสุ่มแบบแยก # X # ที่สามารถใช้กับค่า #x_ {1} x_ {2} x_ {3} … # ด้วยความน่าจะเป็น #P (X = x_ {i}) = p_ {i} # (รายการเหล่านี้อาจมี จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุดและผลรวมอาจมี จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุด) ความแปรปรวนคือ #sigma_ {X} ^ {2} = E (X-mu_ {X}) ^ 2 = sum_ {i = 1} ^ {infty} (x_ {i} -mu_ {X}) ^ 2 * p_ { ผม}#

คำอธิบาย:

ย่อหน้าก่อนหน้าคือนิยามของความแปรปรวน #sigma_ {X} ^ {2} #. พีชคณิตบิตต่อไปนี้ใช้ความเป็นเส้นตรงของตัวดำเนินการค่าที่คาดหวัง # E #แสดงสูตรทางเลือกสำหรับซึ่งมักจะใช้งานง่ายกว่า

#sigma_ {X} ^ {2} = E (X-mu_ {X}) ^ 2 = E x ^ 2-2mu_ {X} X + mu_ {X} ^ {2} #

# = E x ^ 2 -2mu_ {X} E X + mu_ {X} ^ {2} = E x ^ 2 -2mu_ {X} ^ {2} + mu_ {X} ^ {2 } #

# = E x ^ 2 -mu_ {X} ^ {2} = E x ^ {2} - (E X) ^ 2 #,

ที่ไหน #E X ^ {2} = sum_ {i = 1} ^ {infty} x_ {i} ^ {2} * p_ {i} #