ฉันจะทำให้ cosx ง่ายขึ้นได้อย่างไร (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1)

ตอบ:

# cos ^ 5x #

คำอธิบาย:

ปัญหาประเภทนี้ไม่เลวอย่างแท้จริงเมื่อคุณรู้ว่ามันเกี่ยวข้องกับพีชคณิตเล็กน้อย!

อันดับแรกฉันจะเขียนการแสดงออกที่กำหนดใหม่เพื่อทำให้ขั้นตอนต่อไปนี้เข้าใจง่ายขึ้น เรารู้ว่า # บาป ^ 2x # เป็นวิธีที่ง่ายกว่าในการเขียน # (sin x) ^ 2 #. ในทำนองเดียวกัน # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

ตอนนี้เราสามารถเขียนนิพจน์ดั้งเดิมได้ใหม่

# (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x #

# = (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

ทีนี้นี่คือส่วนที่เกี่ยวข้องกับพีชคณิต ปล่อย #sin x = a #. เราสามารถเขียน # (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 # เช่น

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

มันดูคุ้นเคยไหม? เราแค่ต้องคำนึงถึงสิ่งนี้! นี่คือสี่เหลี่ยมจัตุรัส trinomial ที่สมบูรณ์แบบ ตั้งแต่ # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #เราสามารถพูดได้

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

ตอนนี้สลับกลับไปเป็นสถานการณ์เดิม Re-แทน #sin x # สำหรับ # A #.

# (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (บาป x) ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (สี (สีน้ำเงิน) (sin ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

ตอนนี้เราสามารถใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติเพื่อทำให้คำศัพท์เป็นสีน้ำเงินได้ง่ายขึ้น จัดเรียงข้อมูลประจำตัวใหม่ # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, เราได้รับ #color (สีน้ำเงิน) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (สี (สีน้ำเงิน) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

เมื่อเรายกกำลังสองนี้สัญญาณลบจะเพิ่มเป็นบวก

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = cos ^ 5x #

ดังนั้น, # (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x = cos ^ 5x #.