ค้นหา f และ 'คำนวณ' อินทิกรัลหรือไม่

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

# อี ^ f (x) + F (x) + 1 = 0 #

# e ^ y + y '+ 1 = 0, qquad y = f (x) #

# y '= - 1 - e ^ y #

# (dy) / (1 + e ^ y) = - dx #

#z = e ^ y, qquad dz = e ^ y dy = z dy #

#int (dz) / (z (1 + z)) = - int dx #

#int dz 1 / z - 1 / (1 + z) = - int dx #

#ln (z / (1 + z)) = C - x #

# e ^ y / (1 + e ^ y) = e ^ (C - x) #

ใช้ IV:

• # e ^ (C - x) = 1 / (e ^ (- y) + 1) #

• #lim_ (x ถึง 0) y = + oo หมายถึง C = 0 #

# e ^ y (1 - e ^ (- x)) = e ^ (- x) #

# e ^ y = e ^ (- x) / (1 - e ^ (- x)) = 1 / (e ^ x-1) #

#y = ln (1 / (e ^ (x) -1)) #

แสดง บิต

#I = int_ (ln2) ^ 1 e ^ y (x + 1) dx #

# = - int_ (ln2) ^ 1 (1+ x) (1 + y ') dx #

# = - int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx -color (สีแดง) (int_ (ln2) ^ 1 y ' dx) - int_ (ln2) ^ 1 xy' dx #

# color (แดง) (int_ (ln2) ^ 1 y ' dx) = ln (1 / (e ^ (x) -1)) _ (ln2) ^ 1 = - ln (e-1) #

#implies I - ln (e-1) = - int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx - int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx #

• # int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx gt 0 #

• # int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx gt 0 #

#implies ฉัน ln ln (e-1) #

ตอบ:

#f (x) = c -x -ln (1-e ^ (c-x)) #

ฉันยังไม่สามารถแสดงให้เห็นถึงความไม่เท่าเทียมกัน แต่ฉันพบความไม่เท่าเทียมที่แข็งแกร่งขึ้น

คำอธิบาย:

ปล่อย #g (x) = e ^ (f (x)) # ดังนั้นการใช้กฎลูกโซ่:

#g '(x) = f' (x) e ^ (f (x)) #

โปรดทราบว่า:

#f (x) = ln (g (x)) #, ดังนั้น:

#f '(x) = (g' (x)) / (g (x)) #

การแทนที่ในสมการดั้งเดิมเรามี:

#g (x) + (g '(x)) / (g (x)) +1 = 0 #

และตามคำจำกัดความ #g (x)> 0 #:

# (dg) / dx + g ^ 2 (x) + g (x) = 0 #

ซึ่งแยกกันไม่ออก:

# (dg) / dx = -g ^ 2-g #

# (dg) / (g (g + 1)) = -dx #

#int (dg) / (g (g + 1)) = -int dx #

การแยกสมาชิกแรกโดยใช้เศษส่วนบางส่วน:

# 1 / (g (g + 1)) = 1 / g -1 / (g + 1) #

ดังนั้น:

#int (dg) / g- int (dg) / (g + 1) = -int dx #

#ln g - ln (g + 1) = -x + c #

การใช้คุณสมบัติของลอการิทึม:

#ln (g / (g + 1)) = - x + c #

# g / (g + 1) = e ^ (c-x) #

ตอนนี้แก้หา # G #:

#g = e ^ (c-x) (g + 1) #

#g (1-e ^ (c-x)) = e ^ (c-x) #

และในที่สุดก็:

#g (x) = e ^ (c-x) / (1-e ^ (c-x)) #

ขณะนี้:

#f (x) = ln (g (x)) = ln (e ^ (cx) / (1-e ^ (cx))) = ln (e ^ (cx)) -ln (1-ce ^ -x) #

#f (x) = c -x -ln (1-e ^ (c-x)) #

เราสามารถกำหนด c # # จากเงื่อนไข:

#lim_ (x-> 0) f (x) = + oo #

เช่น:

#lim_ (x-> 0) c -x -ln (1-e ^ (c-x)) = c-ln (1-e ^ c) #

ซึ่งแน่นอนยกเว้น # c = 0 #.

แล้ว:

#f (x) = -x-ln (1-e ^ -x) #

พิจารณาตอนนี้ส่วนประกอบ:

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx = int_ (ln2) ^ 1 e ^ -x / (1-e ^ -x) (x + 1) dx #

เช่น:

# d / dx (e ^ -x / (1-e ^ -x) (x + 1)) = - (x * e ^ x + 1) / (e ^ x-1) ^ 2 #

เราจะเห็นว่าในช่วงเวลาของการรวมฟังก์ชั่นจะลดลงอย่างเคร่งครัดดังนั้นค่าสูงสุดของมัน # M # เกิดขึ้นสำหรับ # x = LN2 #:

#M = (e ^ -ln2 / (1-e ^ -ln2)) (ln2 + 1) = (1/2) / (1-1 / 2) (ln2 + 1) = (ln2 + 1) #

แล้ว:

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx <= M (1-ln2) #

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx <= 1-ln ^ 2 2 #

ตอบ:

นี่คืออีกหนึ่ง

คำอธิบาย:

รุ่น A ประเภทสิทธิ) #

# อี ^ f (x) + F (x) + 1 = 0 # # <=> ^ (* E ^ (- f (x)) #

# 1 + F (x) จ ^ (- f (x)) + E ^ (- f (x)) = 0 # #<=>#

# -f (x) จ ^ (- f (x)) = 1 + E ^ (- f (x)) # #<=>#

# (จ ^ (- f (x))) '= 1 + E ^ (- f (x)) # #<=>#

# (1 + E ^ (- f (x))) '= 1 + E ^ (- f (x)) ## <=> ^ (x> 0) #

ดังนั้นที่นั่น c # ##ใน## RR #, # 1 + E ^ (- f (x)) = CE ^ x #

• #lim_ (xto0) จ ^ (- f (x)) = _ (xto0, y -> - OO) ^ (- f (x) = U) lim_ (Uto-OO) จ ^ U = 0 #

และ #lim_ (xto0) (- e ^ (- f (x)) + 1) = lim_ (xto0) CE ^ x # #<=>#

# c = 1 #

ดังนั้น, # 1 + E ^ (- f (x)) = E ^ x # #<=>#

#E ^ (- f (x)) = E ^ x-1 # #<=>#

# -f (x) = LN (จ ^ x-1) # #<=>#

# f (x) = - LN (จ ^ x-1) # #COLOR (สีขาว) (AA) #, # x> 0 #

รุ่น B) #

# int_ln2 ^ 1 (จ ^ f (x) (x + 1)) DX <##ln (E-1) #

# f (x) = - LN (จ ^ x-1) #,# x> 0 #

# f '(x) = - e ^ x / (จ ^ x-1) #

# -f (x) = x ^ E / (จ ^ x-1)> = (x + 1) / (จ ^ x-1) # ปราศจาก ''#=#''

• # int_ln2 ^ 1f '(x) DX> int_ln2 ^ 1 (x + 1) / (จ ^ x-1) DX # #<=>#

# int_ln2 ^ 1 (x + 1) / (จ ^ x-1) DX <## - f (x) _ LN2 ^ 1 = -f (1) + f (0) = LN (E-1) #

อย่างไรก็ตามเรามี

# อี ^ f (x) (x + 1) = E ^ (- LN (จ ^ x-1)) (x + 1) = (x + 1) / (จ ^ x-1) #

และดังนั้น # int_ln2 ^ 1 (x + 1) E ^ f (x) DX <##ln (E-1) #