คุณจะหาพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y = -4sin (x) และ y = sin (2x) ในช่วงปิดจาก 0 ถึง pi ได้อย่างไร?

ตอบ:

ประเมินผล

# int_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | DX #

พื้นที่คือ: #8#

คำอธิบาย:

พื้นที่ระหว่างสองฟังก์ชั่นต่อเนื่อง # f (x) # และ #G (x) # เกิน #x ใน a, b # คือ:

# int_a ^ ข | f (x) -g (x) | DX #

ดังนั้นเราจะต้องค้นหาเมื่อ # f (x)> g (x) #

ให้เส้นโค้งเป็นฟังก์ชัน:

# f (x) = - 4sin (x) #

#G (x) = sin (2x) #

# f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> บาป (2x) #

รู้ว่า #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

หารด้วย #2# ซึ่งเป็นบวก:

# -2sin (x)> บาป (x) cos (x) #

หารด้วย # sinx # โดยไม่ต้องย้อนกลับป้ายตั้งแต่ #sinx> 0 # สำหรับทุกคน #x ใน (0, π) #

# -2> cos (x) #

ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจาก:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

ดังนั้นข้อความเริ่มต้นไม่สามารถเป็นจริงได้ ดังนั้น, # f (x) <= กรัม (x) # สำหรับทุกคน #x ใน 0, π #

อินทิกรัลถูกคำนวณ:

# int_a ^ ข | f (x) -g (x) | DX #

# int_0 ^ π (g (x) -f (x)) DX #

# int_0 ^ π (บาป (2x) - (- 4sin (x))) DX #

# int_0 ^ π (บาป (2x) + 4sin (x)) DX #

# int_0 ^ πsin (2x) DX + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1/2 cos (2x) _ ^ 0 π-4 cos (x) _ ^ 0 π #

# -1/2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#