X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (แยกตัวประกอบ)?

ตอบ:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (x ^ 2 (อัลฟา + บาร์ (alpha)) x + 2) (x ^ 2- (omegaalpha + โอเมก้า ^ 2bar (alpha)) x + 2) (x ^ 2- (โอเมก้า ^ 2alpha + omegabar (อัลฟา)) x + 2) #

ตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง …

คำอธิบาย:

คำเตือน:

คำตอบนี้อาจจะสูงกว่าที่คุณคาดหวัง

หมายเหตุ

เป็นไปได้ที่จะทำให้ง่ายขึ้นและค้นหา:

# alpha + bar (alpha) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + omega ^ 2bar (alpha) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ 2alpha + omegabar (alpha) = -1 #

แต่ยังไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่าทำสิ่งนี้ได้ดีที่สุด

ตอบ:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

คำอธิบาย:

นี่เป็นวิธีที่ง่ายกว่า …

ได้รับ:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

ค้นหาการแยกตัวประกอบของแบบฟอร์ม:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alphax + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

# = x ^ 6 + (อัลฟา + เบต้า + แกมมา) x ^ 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 6) x ^ 4 + (2 (อัลฟา + เบต้า + แกมมา) + alphabetagamma) x ^ 3 + (2 (alphabeta + + betagamma gammaalpha) +12) x ^ 2 + 4 (อัลฟาเบต้า + + แกมมา) x + 8 #

ค่าสัมประสิทธิ์การเทียบเคียงเราพบ:

# {(อัลฟา + เบต้า + แกมม่า = 0), (อัลฟา + betagamma + gammaalpha = -6), (อัลฟาตัวอักษร = -5):} #

ดังนั้น #alpha, beta, gamma # คือศูนย์ของลูกบาศก์:

# (x-alpha) (x-เบต้า) (x-แกมมา) #

# = x ^ 3 (อัลฟาเบต้า + + แกมมา) x ^ 2 + (alphabeta + + betagamma gammaalpha) x-alphabetagamma #

# = x ^ 3-6x + 5 #

โปรดสังเกตว่าผลรวมของสัมประสิทธิ์ของลูกบาศก์นี้คือ #0#. นั่นคือ #1-6+5 = 0#.

ด้วยเหตุนี้ # x = 1 # เป็นศูนย์และ # (x-1) # ปัจจัย:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

ศูนย์ของสมการกำลังสองที่เหลือสามารถพบได้โดยใช้สูตรสมการกำลังสองเป็น:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

ดังนั้น # {alpha, beta, gamma} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2} #

ดังนั้น:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

โบนัส

เราจะพูดถึงต้นกำเนิดข้างต้นได้หรือไม่?

# x ^ 6 + px ^ 3 + Q ^ 3 #

# = (x ^ 2 + ALPHAX + Q) (x ^ 2 + betax + Q) (x ^ 2 + gammax + Q) #

# = x ^ 6 + (อัลฟา + เบต้า + แกมมา) x ^ 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 3Q) x ^ 4 + (ด (อัลฟา + เบต้า + แกมมา) + alphabetagamma) x ^ 3 + Q (alphabeta + betagamma + + gammaalpha 3Q) x ^ 2 + Q ^ 2 (อัลฟาเบต้า + + แกมมา) x + Q ^ 3 #

ค่าสัมประสิทธิ์ Equating:

# {(อัลฟา + เบต้า + แกมม่า = 0), (อัลฟา + betagamma + gammaalpha = -3q), (อัลฟาตัวอักษร = p):} #

ด้วยเหตุนี้ #alpha, beta, gamma # เป็นศูนย์ของ:

# x ^ 3-3qx-P #

ดังนั้นถ้าเราหาสามศูนย์ที่แท้จริงของลูกบาศก์นี้ได้แล้วเราก็มีตัวประกอบของ sextic # x ^ 6 + px ^ 3 + Q ^ 3 # เป็นสาม quadratics กับสัมประสิทธิ์จริง