Int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx คืออะไร

ตอบ:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

คำอธิบาย:

คำอธิบายนี้ยาวไปหน่อย แต่ฉันหาวิธีทำเร็วกว่านี้ไม่ได้ …

อินทิกรัลเป็นแอพพลิเคชั่นเชิงเส้นดังนั้นคุณสามารถแยกฟังก์ชั่นภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัลได้

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

2 เทอมแรกคือฟังก์ชันพหุนามดังนั้นพวกมันจึงง่ายที่จะรวม ฉันจะแสดงวิธีการทำ # x ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # ดังนั้น # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. คุณทำสิ่งเดียวกันแน่นอน # x ^ 3 #ผลลัพธ์คือ #255/4#.

คำวินิจฉัย #intsqrt (x-1) / x ^ 2DX # ค่อนข้างยาวและซับซ้อน ก่อนอื่นคุณคูณเศษส่วนด้วย #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # จากนั้นคุณเปลี่ยนตัวแปร: สมมุติว่า #u = sqrt (x-1) #. ดังนั้น # du = 1 / (2sqrt (x-1)) DX # และตอนนี้คุณต้องค้นหา # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. ในการค้นหาคุณต้องแยกส่วนย่อยของฟังก์ชัน rational บางส่วน # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (axe + b) / (x ^ 2 +1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # กับ # a, b, c, d ใน RR #. หลังจากแคลคูลัสเราพบว่า # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #ซึ่งหมายความว่า # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

#int (du) / (U ^ 2 + 1) ^ 2 # เป็นที่รู้จักกันดีก็คือ #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

สุดท้าย # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2))) = arctan (u) - u / (1 + U ^ 2) #

คุณแทนที่ #ยู# โดยการแสดงออกเดิมด้วย # x # เพื่อที่จะมี #intsqrt (x-1) / x ^ 2DX #, ซึ่งเป็น #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

ดังนั้นในที่สุด # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #